Inverses der Standard Normalverteilung

03.01.2013, 10:39

MatheMushroom

Inverses der Standard Normalverteilung

Guten Tag,

Es geht um folgende Aufgabenstellung:
Sei X eine Zufallsvariabel die normalverteilt zu den Parametern $\begin{eqnarray*} \mu = 2000 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma^2 = 25 \end{eqnarray*}$ ist. Ich muss nun eine Grenze c finden, so dass folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} P[X > c] = 0.9 \end{eqnarray*}$

Zu erst habe ich das Ganze zu $\begin{eqnarray*} P[X\leq c] = 0.1 \end{eqnarray*}$ umgeformt und dann habe ich den ganzen Ausdruck standartisiert und folgendes erhalten:

$\begin{eqnarray*} P\left[\frac{X-2000}{5} \leq \frac{c-2000}{5}\right] = \Phi\left( \frac{c-2000}{5} \right) = 0.1 \end{eqnarray*}$

anschliessend nehem ich das Inverse auf beiden Seiten und erhalte folgende Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \frac{c-2000}{5} = \Phi^{-1}(0.1) \end{eqnarray*}$

unter der Annahme, dass bisher alles stimmt nun zu mein Problem: Wie erhalte ich $\begin{eqnarray*} \Phi^{-1}(0.1) \end{eqnarray*}$ auf einfache art und weise, falls ich die tabelierten Werte von $\begin{eqnarray*} \Phi(t) \end{eqnarray*}$ habe?

Gruss MatheMushroom

03.01.2013, 10:50

Steffen Bühler

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RE: Inverses der Standard Normalverteilung

Zitat:

Original von MatheMushroom
Wie erhalte ich $\begin{eqnarray*} \Phi^{-1}(0.1) \end{eqnarray*}$ auf einfache art und weise, falls ich die tabelierten Werte von $\begin{eqnarray*} \Phi(t) \end{eqnarray*}$ habe?

Indem Du den Wert 0,1 in der Tabelle suchst und das zugehörige t abliest. Falls Deine Tabelle erst bei 0,5 beginnt, nutze die Symmetrie der Normalverteilung.

Viele Grüße
Steffen

03.01.2013, 10:55

Dopap

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Tabellen kann man auf 2 Arten lesen - Vorwärts wie Rückwärts. Eventuell ein wenig interpolieren.
Ausserdem sind meistens prominente Werte der Umkehrfunktion extra aufgeführt.

Zudem kann man die Gleichung $\begin{eqnarray*} \int_0^c \varphi(x) \dd x = 0.45 \end{eqnarray*}$ mit einem guten Taschenrechner lösen lassen.

$\begin{eqnarray*} \varphi(x) \end{eqnarray*}$ =Standardnormalverteilungsdichte.

03.01.2013, 10:59

MatheMushroom

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RE: Inverses der Standard Normalverteilung
Hallo Steffen

ah... so einfach kann es sein. Da stand ich wohl etwas auf dem Schlauch...

Danke für die rasche Antwort Big Laugh

gruss

MatheMushroom

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Inverses der Standard Normalverteilung

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