Reihen

03.01.2013, 13:40

Gz3

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Reihen

Meine Frage:
Hallo ich habe gerade bei einer Aufgabe Probleme:

Ich soll die Reihe auf Konvergenz überprüfen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{2^k}{\sqrt{k!} } \end{eqnarray*}$

Wie muss ich hier genau Vorgehen?

Meine Ideen:
Keine

03.01.2013, 13:54

Che Netzer

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RE: Reihen
Probier es doch mit dem Quotientenkriterium.

03.01.2013, 13:58

Gz3

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{2^k}{\sqrt{k!} } * \frac{\sqrt{k+1!} }{2^{k+1}} \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich jetzt weiter vor?

03.01.2013, 14:01

Che Netzer

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Zunächst einmal schlägst du nach, wie man das Kriterium tatsächlich anwendet.

03.01.2013, 14:34

Gz3

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{\sqrt{k} }{2^k } * \frac{\sqrt{k+1!} }{2^{k+1}} \end{eqnarray*}$

Nun richtig ?

03.01.2013, 14:37

Che Netzer

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Ich vermute mal, du hast einfach nur geraten.
Wie wäre es denn, wenn du tatsächlich mal nachschlagen würdest?

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03.01.2013, 16:09

Gz3

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Ih glaube jetzt müsste es richtig sein.

Aber wie gehe ich weiter vor?

03.01.2013, 16:11

Che Netzer

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Das sieht schonmal recht vernünftig aus (ich interpretiere das in der Potenz oben links als $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ).
Was musst du nun mit diesem Term anstellen bzw. was muss gelten, damit die Reihe (absolut) konvergiert?

03.01.2013, 16:25

NeoKortex

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du musst es auf die Form bringen

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } \frac{2}{\sqrt{k!} } \end{eqnarray*}$

03.01.2013, 16:34

Gz3

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Wenn das q < 1 ist konvergiert es absolut oder .

Aber ich muss es irgendwie noch vereinfachen oder ?

03.01.2013, 16:36

Che Netzer

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Was ist $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ ?

03.01.2013, 16:40

Gz3

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q wird doch der grenzwert sein wenn ich es ausrechne oder?

03.01.2013, 16:42

Che Netzer

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Aha, geht doch.
Du setzt also
$\begin{eqnarray*} q:=\lim_{k\to\infty}\frac{2^{k+1}}{\sqrt{(k+1)!}}\frac{\sqrt{k!}}{2^k}\,. \end{eqnarray*}$
Da kannst du schonmal kürzen, dann kannst du den Grenzwert berechnen.

03.01.2013, 16:46

NeoKortex

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q ist das Ergebnis des Qoutientenkriteriums. Also wenn q<1 ist konvergiert deine Reihe.

Hilft dir das weiter?

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{2*2^{k} }{\sqrt{k!}\sqrt{(k+1)} } * \frac{\sqrt{k!} }{2^{k} } \end{eqnarray*}$

03.01.2013, 16:47

Gz3

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Ist es soweit richtig vereinfacht?

03.01.2013, 16:50

Che Netzer

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Ja. Jetzt kannst du $\begin{eqnarray*} k\to\infty \end{eqnarray*}$ betrachten.

03.01.2013, 16:51

Gz3

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Müsste doch gegen 0 gehen oder?

03.01.2013, 16:55

Che Netzer

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Ja, genau. Und konvergiert die Reihe nun?

03.01.2013, 17:00

Gz3

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Ja es konvergiert ,weil es kleiner als 1 ist oder ?

03.01.2013, 17:02

Che Netzer

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Du meinst wohl das richtige, solltest dir aber angewöhnen, nicht alles mit "es" bezeichnen.
Das erste "es" bezeichnet wohl die (!) Reihe, das zweite den Grenzwert bzw. $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ (was du auch ausschreiben kannst).

03.01.2013, 17:07

Gz3

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h gut anke ich habe noch eine Reihe:

Da habe ich das wurzelkriterium angewendet , aber jetzt komme ich nicht mehr weiter.

03.01.2013, 17:08

Che Netzer

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Jetzt kannst du den Bruch auseinanderziehen; das Ergebnis sollte bekannt vorkommen.

Das erste Gleichheitszeichen ist aber völliger Unsinn, die Reihe nimmt nicht den Wert an, den man beim Wurzel-/Quotientenkriterium als Grenzwert bestimmt.

03.01.2013, 17:11

Gz3

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Kommt da 1 raus?

03.01.2013, 17:12

Che Netzer

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Wenn du $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}n\right)^n \end{eqnarray*}$ meinst: Nein.

03.01.2013, 17:16

Gz3

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Ist es so richtig?

Oder ist mein Ansatz falsch?

03.01.2013, 17:17

Che Netzer

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Ja, die Umformung stimmt. Jetzt bilde den Grenzwert $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ .

03.01.2013, 17:19

Gz3

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Dann bleibt dann doch nur 1^n übrig oder?

03.01.2013, 17:20

Che Netzer

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Nein, wenn $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ betrachtet wird, kann kein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mehr übrig bleiben.
Kommt dir der Grenzwert nicht bekannt vor? In Verbindung mit der Eulerschen Zahl?

03.01.2013, 17:23

Gz3

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Der grenzwert ist e^n oder?

03.01.2013, 17:26

Che Netzer

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Zitat:

Original von Che Netzer
Nein, wenn $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ betrachtet wird, kann kein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mehr übrig bleiben.

Wie bist du denn auf diesen Grenzwert gekommen? Was hast du dabei benutzt?

03.01.2013, 17:27

Gz3

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Ich hab in die formelsammlung geschaut .

Ist doch richtig oder?

03.01.2013, 17:28

Che Netzer

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Nein.

Was genau stand denn in der Formelsammlung?

03.01.2013, 17:31

Gz3

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Tschuldigung ich hab meinen Fehler erkannt .

Es ist nur e .

Richtig?

03.01.2013, 17:35

Che Netzer

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Ja, das stimmt.
Was sagt das nun über die Konvergenz der Reihe aus?

03.01.2013, 17:47

Gz3

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Bei der e funktion divigiert es ?

03.01.2013, 17:48

Che Netzer

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Was ist "es" und was heißt "bei der e funktion"?

03.01.2013, 17:53

Gz3

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Das q divergiert für die Funktion .

Hoffe ich hab es richtig ausgedrückt.

Noch ein letztes Problem bei einer Aufgabe.

Die erscheint mir ziemlich schwierig.

Daher hab ich auch noch keine Idee .

Vielleicht kannst du mir helfen:

03.01.2013, 17:56

NeoKortex

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edit: ups, mein Fehler

03.01.2013, 17:56

Che Netzer

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$\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ ist eine reelle Zahl, in diesem Fall $\begin{eqnarray*} \mathrm e \end{eqnarray*}$ . Je nachdem, ob $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ größer oder kleiner als Eins ist, kann man eine Aussage über die Konvergenz der betrachteten Reihe treffen.
Welcher Fall tritt hier ein und welche Aussage liefert einem das?

Eine Funktion taucht hier nirgendwo auf und "für die Funktion" ergibt sowieso keinen Sinn.

Um die andere Reihe kümmern wir uns besser später, erst solltest du vernünftig formulieren, was man über die "aktuelle" Reihe aussagen kann – sowieso solltest du bei neuen Fragen eher einen neuen Thread eröffnen.

03.01.2013, 18:01

Gz3

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Die e funktion ist grösser 1 .

q> 1 .

Also divergenz.

In ordnung?

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