Fortsetzung eines Maßes

03.01.2013, 12:41

LuckyLoser

Fortsetzung eines Maßes

Meine Frage:
Hi. Es sei $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ eine überabzählbare Menge. Betrachten Sie den Ring $\begin{eqnarray*} R=\left\{A\subseteq\Omega:\text{A endlich}\right\}\subseteq P(\Omega) \end{eqnarray*}$ sowie das Prämaß $\begin{eqnarray*} \mu\equiv 0 \end{eqnarray*}$
a) Zeigen Sie, dass für jedes $\begin{eqnarray*} y\in[0{,}\infty] \end{eqnarray*}$ durch

$\begin{eqnarray*} \mu ':\sigma (R)\rightarrow [0,\infty]{,}\mu '(A)=\begin{cases} 0 & \text{falls A abzählbar}\\ y & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

ein Maß definiert wird, welches $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \sigma (R) \end{eqnarray*}$ fortsetzt.
b) Welche Fortsetzung liefert der Satz von Caratheodory?

Meine Ideen:
Zu
a) Meiner Meinung nach ist $\begin{eqnarray*} \mu ' \end{eqnarray*}$ kein Maß, sondern ein äußeres Maß, denn es ist nur $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Subadditivität gegeben. Hierzu eine Fallunterscheidung:
1. Fall: Alle $\begin{eqnarray*} A_k \end{eqnarray*}$ sind abzählbar. Dann ist auch $\begin{eqnarray*} \bigcup_{k=1}^{\infty} A_k \end{eqnarray*}$ abzählbar und es gilt: $\begin{eqnarray*} \mu '\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k\right)=0 \end{eqnarray*}$ nach Definition.

2.Fall: Mindestens ein $\begin{eqnarray*} A_k \end{eqnarray*}$ ist überabzählbar. Dann ist auch $\begin{eqnarray*} \bigcup_{k=1}^{\infty} A_k \end{eqnarray*}$ überabzählbar. Aber:
$\begin{eqnarray*} \mu '\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k\right)=y\leq \sum\limits_{k=1}^{\infty}\mu '(A_k) \end{eqnarray*}$ , da, je nachdem wieviele $\begin{eqnarray*} A_k \end{eqnarray*}$ überabzählbar sind, das y über diese Anzahl summiert wird.

b) Später

Ich danke an dieser Stelle schon für Hilfe Augenzwinkern

03.01.2013, 12:53

Che Netzer

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RE: Fortsetzung eines Maßes
Du scheinst zu vergessen, dass die $\begin{eqnarray*} A_k \end{eqnarray*}$ disjunkt sein sollen.
Kann es denn vorkommen, dass es zwei disjunkte überabzählbare Mengen in $\begin{eqnarray*} \sigma(R) \end{eqnarray*}$ gibt?

03.01.2013, 14:00

LuckyLoser

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Jaa, das ist mir eben auch aufgefallen Big Laugh

Also es gilt: $\begin{eqnarray*} \sigma (R)=\left\{A\subseteq\Omega :\text{A abzählbar oder Ac abzählbar}\right\} \end{eqnarray*}$ . Hierbei bezeichnet Ac das Komplement von A, habe das $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ nicht in die Textzeile bekommen.
Vllt geht es so: Seien A,B überabzählbare Mengen in $\begin{eqnarray*} \sigma (R) \end{eqnarray*}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray*} A\cap B=(A^c\cup B^c)^c \end{eqnarray*}$ Nach Definition sind $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B^c \end{eqnarray*}$ abzählbar und somit auch die Vereinigung. Das Komplement dieser Vereinigung in Omega ist nicht leer, da Omega überabzählbar. Damit ist der Schnitt von A und B nicht leer. Also sind A und B nicht disjunkt. Mein zweiter betrachteter Fall erübrigt sich ja fast, weil man jetzt nur eine überabzählbare Menge betrachten muss. Damit ist Gleichheit gegeben und $\begin{eqnarray*} \mu ' \end{eqnarray*}$ ein Maß.

03.01.2013, 14:04

Che Netzer

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Ja, so kann das funktionieren.

03.01.2013, 15:07

LuckyLoser

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Zu b) mache ich mir morgen meine Gedanken. Danke für deine Hilfe

03.01.2013, 15:27

RavenOnJ

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Zitat:

Original von LuckyLoser
$\begin{eqnarray*} \sigma (R)=\left\{A\subseteq\Omega :\text{A abzählbar oder Ac abzählbar}\right\} \end{eqnarray*}$ . Hierbei bezeichnet Ac das Komplement von A, habe das $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ nicht in die Textzeile bekommen.

so geht's (mathematischen Term im \text{...} mit $...$ einfassen):

$\begin{eqnarray*} \sigma (R)=\left\{A\subseteq\Omega :\text{$A$ abzählbar oder $A^c$ abzählbar}\right\} \end{eqnarray*}$

03.01.2013, 15:40

Che Netzer

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Ich schreibe das ja am liebsten so:
A\ \text{abzählbar oder}\ A^{\mathrm c}\ \text{abzählbar}
Sieht dann so aus (mit dem Rest drumherum:
$\begin{eqnarray*} \sigma(R)=\{A\subseteq\Omega:A\ \text{abzählbar oder}\ A^{\mathrm c}\ \text{abzählbar}\} \end{eqnarray*}$
Eigentlich kein großer Unterschied zu
$\begin{eqnarray*} \sigma (R)=\left\{A\subseteq\Omega :\text{$A$ abzählbar oder $A^c$ abzählbar}\right\} \end{eqnarray*}$
aber ich benutze den \text-Befehl lieber nur für Texte.

03.01.2013, 15:46

RavenOnJ

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@Che
Eigentlich überhaupt kein Unterschied beim Rendern (abgesehen vom \mathrm), aber warum so kompliziert?

03.01.2013, 15:49

Che Netzer

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Ich mag diese Schachtelung von Mathe-Modus im Text-Modus im Mathe-Modus nicht.

03.01.2013, 15:52

RavenOnJ

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@Che Na ja, dann ...

04.01.2013, 15:02

LuckyLoser

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Und nun wieder zum Mathematischen... Big Laugh

Eine Aussage des Satzes lautet: Sei $\begin{eqnarray*} R\subseteq P(\Omega) \end{eqnarray*}$ ein Ring und $\begin{eqnarray*} \mu:R\rightarrow [0{,}\infty] \end{eqnarray*}$ ein Prämaß. Dann gilt: $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ wird durch $\begin{eqnarray*} \mu ^* \end{eqnarray*}$ eingeschränkt auf $\begin{eqnarray*} \sigma (R) \end{eqnarray*}$ zu einem Maß von der durch R erzeugten Sigma-Algebra fortgesetzt. Dabei haben wir $\begin{eqnarray*} \mu ^* \end{eqnarray*}$ so definiert: $\begin{eqnarray*} \mu ^*=\inf{\left\{\sum\limits_{k=1}^\infty \mu (A_k): A_k\in R \forall k\in\mathbb R \text{und} A\subseteq\sum\limits_{k=1}^\infty A_k \right\}} \end{eqnarray*}$

Naja, da $\begin{eqnarray*} \mu (A_k)=0 \forall A_k\in R \end{eqnarray*}$ nach Definition, ist auch die Summe über die Maße der A_k gleich 0 und das Infimum auch. Also gilt, dass $\begin{eqnarray*} \mu ^*\equiv 0 \end{eqnarray*}$ . Das wiederum bedeutet, dass die Fortsetzung nicht eindeutig ist, weil in a) die Existenz einer anderen gezeigt wurde.

btw, da hier ja Latex-Experten sind. Wie stelle ich diesen senkrechten Strich zur Einschränkung dar verwirrt

04.01.2013, 15:11

Che Netzer

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Ja, mit der Konstruktion erhältst du das "Nullmaß", also den Spezialfall $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ .

Den Strich erzeugst du z.B. mit \vert, es ginge auch einfach |. Manchmal bevorzuge ich \big\vert oder sogar \Big\vert.
Und in einer deiner Formeln hättest du übrigens den Befehl \bigcup gebrauchen können Augenzwinkern

04.01.2013, 15:21

LuckyLoser

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Achso, und dann die Menge tief stellen mit "_". Jaa, es sollte natürlich $\begin{eqnarray*} A\subseteq\bigcup_{k=1}^\infty A_k \end{eqnarray*}$ heißen. Danke für deine Hilfe Augenzwinkern

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