Ungleichungen |
| 03.01.2013, 14:32 | Mathe-Genius | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Ungleichungen (3x+1)(2x-1) < (5x-3)(2x-1) Meine Ideen: drei Fälle unterscheiden (x-2) >0, =0 und <0 1. Fall L1=(2,oo) 2. Fall L2= {2} 3. Fall L3=(-oo,2) L=(2,oo) u 2 u (-oo,2) = ?. |
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| 03.01.2013, 14:35 | Mathe-Genius | Auf diesen Beitrag antworten » |
noch mal ausführlicher: drei Fälle unterscheiden (x-2) >0, =0 und <0 1. Fall x>2 <-> xe (2,oo) 3x+1 < 5x-3 2<x <-> (2,oo) L1=(2,oo) 2. Fall x=2 <-> xe {2} L2= {2} 3. Fall x<2 <-> xe (-oo,2) 3x+1 >= 5x-3 2>=x L3=(-oo,2) L=(2,oo) u {2} u (-oo,2) = hmm eig gibts dann ja keine Lösung aber die Lösung soll sein R\[1/2 , 2] was mir auch nicht weiterhilft, denn was ist dieses R und es stimmt ja auhc nicht mit meinen Ergebnissen überein. Über Hilfe wäre ich sehr dankbar. |
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| 03.01.2013, 14:44 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wenn Du eine Fallunterscheidung machst, dann würde ich mich auf die 2x-1 konzentrieren, da sie auf beiden Seiten der Ungleichung auftaucht und somit zum Kürzen förmlich einläd. Es geht aber eigentlich auch ganz ohne Fallunterscheidung, wenn du alles auf eine Seite bringst und ausklammerst. |
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| 03.01.2013, 14:55 | Matjhe-Genius | Auf diesen Beitrag antworten » |
oh stimmt. ich hab mit x-2 die fallunterscheidung gemacht und nicht mit 2x-1. ich bin noch mal am rechnen. 
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| 03.01.2013, 15:36 | Mathe-Genius | Auf diesen Beitrag antworten » |
so ich hab jetzt raus: L= L1 V L2 V L3 = (1/2 , oo) V {2} V (-oo, 1/2) wie gesagt soll das Ergebnis sein R\ [1/2 , 2] Ich versteh jetzt nicht ob ich jetzt richtig bin oder nicht ^^ weil das sind ja meine Ergebnisse und ich dachte das richtige Ergebnis findet sich zwischen allen Ls wieder... also z.b. zwischen L1 und L3 1/2, weil das bei beiden unter dem Ergebnis war. und wenn das Ergebnis sein ,,R\ [1/2 , 2]" heißt dass das alle Zahlen zwischen 1/2 und 2 Lösungen sind also inkl. 1/2 und 2 oder nur 1/2 und 2. Lange Rede, kurzer Sinn:Wie finde ich aus meiner Rechnung jetzt das Ergebnis heraus? |
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| 03.01.2013, 15:45 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Ungleichungen Um das zu beantworten, müsste ich wissen, wie Du zu deinen Ergebnissen gekommen bist. Nehmen wir mal den ersten Fall: Zusammen also ( und ) ergibt Die anderen beiden Fälle bearbeitest Du entsprechend. |
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| 03.01.2013, 15:57 | Mathe-Genius | Auf diesen Beitrag antworten » |
ok bei 2. kann man ja nicht viel rechnen oder? x=1/2 damit 2x-1=0 wird. und bei 3. hab ich gerechnet: x<1/2 <-> xe (-oo, 1/2) Also wenn x kleiner als 1/2 ist wird 2x-1 negativ. 3x+1 > 5x - 3 hier wurde durch 2x-1 dividiert 2>x <-> (2, - oo) Das Ergebnis ist x ist kleiner als 2. Da wir aber wissen (wie oben beschrieben), dass x kleiner als 1/2 sein muss ist das Ergebnis (-oo , 1/2). L3 = (-oo , 1/2) n (2, -oo) = (-oo , 1/2) Deshalb liegen mögliche x zwischen -oo und 1/2 damit 2x-1 negativ wird. Also x<1/2 und x<2 ergibt x<1/2. Ich hoffe das ist verständlich und übersichtlich was ich meine. Und wie komme ich dann auf die ,,Endlösung"? Vielen dank dass du dir die Zeit und Mühe für mich nimmst 
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| 03.01.2013, 16:11 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ganz einfach: Vereinige deine Teillösungen, denn Du hast ja getrennte Bereiche betrachtet. |
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| 03.01.2013, 16:31 | Mathe-Genius | Auf diesen Beitrag antworten » |
1. Fall x>1/2 und x>2 2. Fall x=1/2 3. Fall x<1/2 und x<2 Im Lösungsbuch steht: R\ [1/2 , 2]. Ich versteh die Lösung einfach nicht. Es steht doch bei 1. GRÖßER ALS 2 und bei 3. KLEINER ALS 2. Wie kann dann in der Lösung 2 sein? Also kannst du mir vielleicht noch mal die Lösung erklären? Das wäre super. Weil ich versuche jetzt ja auszurechnen, wann die Gleichung (3x+1)(2x-1) < (5x-3)(2x-1) erfüllt wird. Und um es zu vereinfachen muss ich 2x-1 ,,wegmachen". Ich dividiere, aber ich muss Fallunterscheidungen machen, da kein Gleichheitszeichen steht sondern < und die Gleichung falsch wäre, wenn jetzt z.B. x negativ wäre. Richtig? Z.B. wenn ich 5x > 3x hätte dann wäre die Gleichung bei x=1 richtig 5 > 3 aber bei x=-1 falsch, da -5 < -3 ist und nicht -5 > -3. Ich versteh schon den Weg an sich, nur wie ich jetzt auf das Endergebnis komme verwundert mich immer noch und was ,,das ganze" soll? Verstehst du was ich meine? Hoffentlich.. ich bin immer noch verwirrt und morgen muss ich darüber einen Test schreiben... 
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| 03.01.2013, 16:43 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » |
Da die die Darstellung anscheinend nicht klar ist übersetzte ich sie mal: Nimm alle rellen Zahlen (R) und entferne (\) das abgeschlossene Intervall ([..]) von bis 2. Welche reellen Zahlen sind also in der Lösungsmenge? |
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| 03.01.2013, 18:17 | Mathe-Genius | Auf diesen Beitrag antworten » |
sorry für die späte Antwort, war verhindert. Also sind nur 1/2 und 2 in der Lösungsmenge? Wobei mir dann immer noch unklar wäre warum 2... |
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| 03.01.2013, 18:29 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wenn Du das abgeschlossene Intervall rausnimmst, wieso sollte dann der Rand als einziges drin bleiben? Es ist alles außer dem Intervall in der Lösungsmenge, also alle Zahlen, die echt kleiner als sind und alle Zahlen, die echt größer als 2 sind. |
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| 03.01.2013, 18:32 | Mathe-Genius | Auf diesen Beitrag antworten » |
okay... danke.. |
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| 03.01.2013, 19:22 | Mathe-Genius | Auf diesen Beitrag antworten » |
tut mir leid dass ich noch mal frage, aber ich möchte sicher gehen dass ich das jetzt verstanden habe. also wir haben ja ausgerechnet dass x, im ersten Fall größer als 1/2 sein muss, damit die Klammer positiv wird. Nachdem wir die Klammer wegdividiert haben, rechnen wir aus, dass x größer als 2 sein muss, damit wir eine richtige bzw. logische Lösung erhalten. Für 1. also: x größer als 2. im zweiten Fall muss x=1/2 sein, damit die Klammer 0 wird und damit auch die Lösung 0 ist. im dritten Fall rechnen wir aus, dass x kleiner als 1/2 sein muss, damit wir ein negatives Ergebnis bekommen. Wir dividieren die eine Klammer weg und rechnen aus dass x kleiner als 2 sein muss, damit wir eine Lösung bekommen. Allerdings haben wir vorher ausgrechnet, dass x kleiner als 1/2 sein muss, damit wir ein negatives Ergebnis bekommen, also gilt für den 3.: x kleiner als 1/2. Also liegt ein mögliches x größer als 2 und kleiner als 1/2, weil das die Ergebnisse von 1. und 3. sind und der 2. Fall falsch ist, da nicht 0 > 0 ist. Und wir machen die Fallunterscheidung, weil das Relationszeichen es erforderlich macht, wenn man dividieren möchte? Alles Richtig soweit? |
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| 03.01.2013, 23:36 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » |
Prinzipiell richtig, bis auf den zweiten Fall. Die Lösung ist dort nicht 0, sondern die leere Menge. Ansonsten hast Du richtig erkannt, dass die Fallunterscheidung notwendig ist, da sich das Relationszeichen bei Division und Multiplikation mit einer negativen Zahl umdreht. Wie ich oben ja schon sagte, gibt es aber auch einen Weg ohne Fallunterscheidungen: Diese Ungleichung ist offensichtlich nur dann wahr, wenn beide Faktoren dasselbe Vorzeichen haben, also oder |
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