Wachstumsgeschwindigkeit von verschiedenen Funktionen vergleichen

03.01.2013, 15:18	marc_185	Auf diesen Beitrag antworten »
Wachstumsgeschwindigkeit von verschiedenen Funktionen vergleichen Meine Frage: Ich habe folgende 3 Funktionen gegeben: f(t) = $\begin{eqnarray} t^{\sqrt{ln(t)} } \end{eqnarray}$ g(t) = $\begin{eqnarray} ( ln(t) )^{ln(t)} \end{eqnarray}$ h(t) = $\begin{eqnarray} e^{\frac{\sqrt{t} }{ln(t)} } \end{eqnarray}$ Meine Aufgabe ist es jetzt herauszufinden, welche von diesen am schnellsten, am 2.-schnellsten und am langsamstem wächst für t gegen unendlich. Als Hinweis haben wir erhalten, wir sollen die Logarithmen von f, g und h betrachten. Also habe ich die Logarithmen der Funktionen ausgerechnet und jeweils 2 durcheinander dividiert. Ging der Grenzwert gegen Null ging der log der unteren Funktion schneller gegen unendlich und zeigte somit ein stärkeres Wachstum als die obere und umgekehrt. Hat alles prima funktioniert das Resultat war auch richtig. Meine eigentliche Frage lautet nun: Warum muss ich die Logarithmen betrachten??? Hätte ich die Aufgabe ohne den Hinweis bekommen wäre ich nie auf diese Idee gekommen... Und darft ich diese Methode in jedem Fall anwenden oder gibt es da Ausnahmen? Meine Ideen: Vermutlich wird die Aufgabe durch diese Methode vereinfacht... Ob man das aber in jedem Fall darf bin ich nicht sicher.
04.01.2013, 00:39	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Wachstumsgeschwindigkeit ist durch die 1. Ableitung gekennzeichnet. Da in allen drei Fällen Exponentialfunktionen vorliegen, ist es naheliegend, mit den Logarithmen zu rechnen, da diese auch in den Ableitungen aufscheinen. $\begin{eqnarray} f(x)^{g(x)} = e^{g(x) \cdot \ln f(x)} \end{eqnarray}$ mY+

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