Zahlenmengen: Verallgemeinerung eines Zahlenrätsels

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StudMath09 Auf diesen Beitrag antworten »
Zahlenmengen: Verallgemeinerung eines Zahlenrätsels
Meine Frage:
Hallo zusammen!
Ich studiere Elementarmathematik und habe nun eine Algebra-Vorlesung zu der es wöchentlich Übungszettel zu lösen gibt.
Mich beschäftigt zur Zeit folgende Aufgabe:

Gegeben ist eine ganze Zahl a. Zu bestimmen sind alle reellen Zahlen x,y, deren Summe und deren Produkt jeweils gleich a ist.
Beachten Sie evtl. auftretende Fallunterscheidungen!





Meine Ideen:
Mein erster Gedanke war (natürlich) ein Gleichungssystem:
I x+y=a
II x*y=a
Auflösen der I Gleichung nach y und Einsetzen in II ergibt:

y²-ay+a=0
Dann Anwenden der pq-Formel.

Aber wie berücksichtige ich da, dass a eine ganze Zahl sein muss?! Oder reicht es da einfach wenn ich vorher schreibe a [ist Element von] Z?
Und als Lösung würde dann bspw. reichen:
y1=(a/2)+?[(a/2)²-a] ?

Danke im Voraus!
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zahlenmengen: Verallgemeinerung eines Zahlenrätsels
Zitat:
Original von StudMath09
Aber wie berücksichtige ich da, dass a eine ganze Zahl sein muss?! Oder reicht es da einfach wenn ich vorher schreibe a [ist Element von] Z?
Und als Lösung würde dann bspw. reichen:
y1=(a/2)+?[(a/2)²-a] ?

es heißt:

Du musst dies nur insoweit berücksichtigen, dass es nicht für alle eine Lösung gibt. Du musst also die Fälle 1) keine Lösung, 2) eine Lösung, 3) zwei Lösungen unterscheiden. Dies lässt sich anhand der Diskriminante entscheiden.
StudMath09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zahlenmengen: Verallgemeinerung eines Zahlenrätsels
Also würde ich quasi diesen Satz, dass es nicht immer (nur) eine Lösung gibt, einfach drunter schreiben? Und dass dies vorher mithilfe der Diskriminante herausgefunden werden kann?
Also gäbe es ja bei a=0 und a=4 genau eine Lösung und bei a=1, a=2 und a=3 keine Lösung und ab a=5 zwei Lösungen, richtig? Dürfte ich das einfach drunterschreiben?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn der springende Punkt, woran man feststellen kann, ob es 0, 1 oder 2 Lösungen gibt? Man muss untersuchen, ob die Diskriminante < 0, =0 oder > 0 ist. Das muss man für die entsprechenden Werte von a dann auch zeigen.
StudMath09 Auf diesen Beitrag antworten »

Also muss ich den kompletten Kram mit Probe und so weiter für die Fälle a, -a und a=0 machen?! Also stelle ich 3 Gleichungssysteme auf?
x+y=0
x*y=0

und

x+y=a
x*y=a

und

x+y=-a
x*y=-a

Und bei jedem suche ich die Lösungsterme für x und y und mache die Proben?
Aber dann hab ich ja nicht berücksichtigt dass es auch keien Lösung gibt, undzwar bei a=1 und 2 und 3.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

hat zwei Lösungen. Es muss nur noch gezeigt werden, dass für alle die Diskriminante < 0 ist und für alle die Diskriminante >0, was nicht schwerfallen sollte, wenn du das scharf anguckst, was ich gerade geschrieben habe.
 
 
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