Gebrochenrationale Fuktion bestimmen

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Sarliefer Auf diesen Beitrag antworten »
Gebrochenrationale Fuktion bestimmen
Hallo!

Ich habe hier folgende Aufgabe:

Bestimmen Sie eine gebrochenrationale Funktion mit maximalem Definitionsbereich , so dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

(I) f hat die einfachen Nullstellen und und sonst keine.

(II) f hat Pole in und .

(III).

Geben Sie sowohl einen allgemeine als auch eine Lösung mit minimalem Zählergrad an und bestimmen Sie für die links- und rechtsseitigen Grenzwerte an den Polstellen.

Ich habe leider keinerlei Ideen wie man bei so einer Aufgabe vorgehen muss. Wäre nett wenn mir jemand einen Gedankenanstoß geben könnte Freude
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gebrochenrationale Fuktion bestimmen
Wie sähen denn gebrochenrationale Funktionen aus, die jeweils eine der fünf Bedingungen erfüllen würden?
Sarliefer Auf diesen Beitrag antworten »

(I)

(II)

(III)



So denke ich mal oder?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Der Term zur Eigenschaft II stimmt. In I hast du aber eine Polstelle an der Stelle und bei III würde sogar als Konstante genügen – in deiner Form gibt es außerdem eine Definitionslücke an der Stelle Null.
Sarliefer Auf diesen Beitrag antworten »

Ok danke. Aber dann gibt es doch gar keine gebrochenrationale Funktion für (I) oder irre ich mich?

Dann wäre das doch einfach nur
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist durchaus noch eine gebrochenrationale Funktion, man hat halt nur kein im Nenner.

Wir haben also folgende Ausdrücke:
I
II
III
In I und II kannst du nun noch eine allgemeine Form aufschreiben. Wie kannst du Potenzen hinzufügen, so dass die Null- und Polstellen erhalten bleiben?
 
 
Sarliefer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Che Netzer

In I und II kannst du nun noch eine allgemeine Form aufschreiben. Wie kannst du Potenzen hinzufügen, so dass die Null- und Polstellen erhalten bleiben?



Eine allgemeine Form wüsste ich jetzt nicht.

Kann das jetzt nicht zusammenfügen?:

Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Das wäre die Antwort für den minimalen Zählergrad.
Wenn aber z.B. der Term eine Nullstelle in hat, dann doch wohl auch o.ä.
Sarliefer Auf diesen Beitrag antworten »

Würde es dann allgemein wie folgt aussehen?:




Nur zum Verständnis. Der Zählergrad gibt die Potenz von x an oder?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Fast. Du hast vergessen, dass selbst auch eine Potenz haben kann und die Potenzen müssen nicht überall gleich sein.
Du solltest auch angeben, aus welchem Raum diese Potenzen kommen dürfen.
Sarliefer Auf diesen Beitrag antworten »





So müsste das wohl stimmen
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Der Ausdruck selbst sieht gut aus, aber die Potenzen dürfen nicht aus sein. Wenn ich z.B. überall Null einsetze, wäre die Funktion konstant. Wenn ich minus Eins für die Potenzen einsetze, wären Pol- und Nullstellen vertauscht.
Sarliefer Auf diesen Beitrag antworten »

Ok dann nehmen wir mal lieber .


Ist das die einzige Lösung für die allgemeine Form? Ich glaube man kann da auch irgendwie mit z.B. r(x) und s(x) eine Lösung erstellen. Aber bin mir nicht sicher
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wenn ihr Null nicht zu den natürlichen Zahlen zählt, stimmt das jetzt.

Aber was meinst du mit und ?
Die Lösung ist jedenfalls fertig und eindeutig.
Sarliefer Auf diesen Beitrag antworten »



Das hier soll wohl auch eine mögliche Lösung sein meint ein Kommilitone. Aber wie man darauf kommt weiß ich nicht. Vielleicht kannst du ja damit was anfangen.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Was sollen denn und sein? Weitere Polynome?
Dann wird der Definitionsbereich aber kleiner.
Sarliefer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Che Netzer
Was sollen denn und sein? Weitere Polynome?
Dann wird der Definitionsbereich aber kleiner.


Weiß ich auch nicht, aber dann ist es ja nicht so relevant.

Ich habe hier eine ähnliche Aufgabe:

Bestimmen Sie eine gebrochenrationale Funktion mit maximalem Definitionsbereich so, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:

(I) f hat eine doppelte Nullstelle bei und eine einfache bei .

(II) f hat eine Polstelle bei

(III) f hat minimalen Zählergrad

(IV)

Das habe ich wie folgt gelöst:








Ist das so korrekt?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, im Nenner fehlt noch die richtige Potenz, denn bisher hättest du die Bedingung nicht erfüllt.
Sarliefer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Che Netzer
Nein, im Nenner fehlt noch die richtige Potenz, denn bisher hättest du die Bedingung nicht erfüllt.


Was genau meinst du damit? Ich erkenne den Fehler leider nicht.

Ich hab in der Aufgabenstellung vergessen zu schreiben, dass auch das Verhalten des links- und rechtsseitigen Grenzwerts an der Polstelle gefragt ist.

Das Verhalten an der Polstelle ist korrekt oder?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, die Grenzwerte an der Stelle stimmen auch noch nicht.

Es ist aber .
Sarliefer Auf diesen Beitrag antworten »

Muss ich die Klammer im Nenner mit 4 potenzieren damit ich (naiv ausgedrückt) mehr Klammern im Nenner als im Zähler habe?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Dann wäre aber Augenzwinkern
Es geht aber ganz ähnlich wie von dir vorgeschlagen.
Sarliefer Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme nicht drauf unglücklich
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Probier es mal mit einer Drei statt einer Vier – was passiert dann?
Sarliefer Auf diesen Beitrag antworten »

Dann habe ich im Zähler genau so viele x wie im Nenner und f(x) müsste gegen 3/7 konvergieren.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Genau so ist es – nur dass ich es etwas genauer formulieren würde Augenzwinkern
Sarliefer Auf diesen Beitrag antworten »

Ok Danke bis hierhin.

Kommen wir noch einmal auf die Polstellen zurück.









Wo genau ist hier der Fehler?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst einmal solltest du Schreibweisen mit diesem etc. nur für deine eigenen Überlegungen, nicht für die Rechnung verwenden.
Wenn ich diese Schreibweise richtig entziffert habe, ist das im Zähler sowieso falsch.
Sarliefer Auf diesen Beitrag antworten »







So wäre es also richtig?

Diese Schreibweise dürfen wir in der Klausur verwenden smile

Hast du vielleicht eine gute Erklärung oder einen gute Quelle, wo es gut erklärt wird parat. Ich weiß noch nicht 100%ig wie man so etwas angehen sollte.


btw bist du echt erst 17?? geschockt
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sarliefer




So wäre es also richtig?

D.h. ist negativ, wenn man sich von oben an die annähert und sonst positiv?

Zitat:
Diese Schreibweise dürfen wir in der Klausur verwenden smile

Das machen bei uns ja nicht einmal die Ingenieure geschockt
Welche Art von Vorlesung ist das denn, d.h. wie heißt die?

Zitat:
Hast du vielleicht eine gute Erklärung oder einen gute Quelle, wo es gut erklärt wird parat. Ich weiß noch nicht 100%ig wie man so etwas angehen sollte.

Nein, da kenne ich keine Quellen.


Zitat:
btw bist du echt erst 17?? geschockt

Ja, bin ich. Ist das so ungewöhnlich, dass man in dem Alter mit gebrochenrationalen Funktionen umgehen kann?
Sarliefer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Che Netzer

D.h. ist negativ, wenn man sich von oben an die annähert und sonst positiv?


Nein 3-1 ist nicht negativ. Ich weiß aber auch nicht wie ich mir das bildlich vorstellen soll.

Zitat:

Das machen bei uns ja nicht einmal die Ingenieure geschockt
Welche Art von Vorlesung ist das denn, d.h. wie heißt die?


Mathematik für Ingenieure I Big Laugh


Zitat:

Ja, bin ich. Ist das so ungewöhnlich, dass man in dem Alter mit gebrochenrationalen Funktionen umgehen kann?


Ja find ich schon.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sarliefer
Nein 3-1 ist nicht negativ. Ich weiß aber auch nicht wie ich mir das bildlich vorstellen soll.

Woher kommt dann das -Ding im Zähler?
Edit: Und als bildliche Vorstellung könntest du höchstens den Graphen zeichnen lassen.

Zitat:
Mathematik für Ingenieure I Big Laugh

Naja, wir haben auch zumindest Analysis 1 für Ingenieure als eigene Veranstaltung Big Laugh

Zitat:
Ja, bin ich. Ist das so ungewöhnlich, dass man in dem Alter mit gebrochenrationalen Funktionen umgehen kann?

Ja find ich schon.[/quote]
Die gibt es doch üblicherweise schon in der Schule. Und eigentlich schreibe ich gerade an meiner Bachelor-Arbeit verwirrt
Sarliefer Auf diesen Beitrag antworten »








So ich glaube jetzt habe ich es verstanden smile So müsste das ganze jetzt stimmen...oder?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ingenieurmäßig stimmt das mit den Vorzeichenklammern jetzt wohl Augenzwinkern
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