Fourierreihen(Merkmale, Koeffizienten)

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guest234 Auf diesen Beitrag antworten »
Fourierreihen(Merkmale, Koeffizienten)
Hallo,

Fourierreihen bestehn doch aus cos und sin funktionen, richtig?

Mit Hilfe diese Reihe kann man unstetige Funktionen mit Hilfe von der Addition von cos- und sin-förmiger Signale dieses Signal darstellen.

Es gehn nur unstetige Funktion, also jene Funktionen die irgendwo mitten in der Funktion ihren Wert sprunghaft ändern, diese müssen natürlich auch Periodisch auch sein, d.h. wenn sich in der Funktion nur einmal der Wert ändert und dann nie wieder, dann kann man das nicht mit Fourier darstellen.


Habe ich das mal richtig verstanden?

Naja und die Fourierreihe sieht ja so aus:



Es werden Koeffizieten addiert, aber was genau, wenn man das aufzeichnet wird da addiert? Ich glaub es wäre eh für den Anfang besser, wenn ich das einfach so hinnehme wie die Fourierreihe aussieht, genau so wie die Taylorreihe und nicht weiß wie man auf das jetzt kommt etc. Was denkt ihr?

Dann gibts auch noch 2 Fourierkoeffizienten. Einen für sin und einen für cos:







a0 ist ja sozusagen der Startwert, aber warum wird da immer über eine Periode integriert und dann kommt halt irgendein Wert raus, was bringt das?

Ich vermute mal das man einfach zum Schluss die Fourie-Reihe aufstellen kann und somit ist diese Reihe ein Annäherung an eine vorgegebene Funktion f(x). Richtig?

Naja was haben den solche Koffizienten allgemein bei Potenzreihen, Taylorreihen und speziell bei Fourierreihen für einen Sinn?

Warum wird hier bei an bzw. bn nochmal Grundschwingungen bzw. dann Oberschwingungen dazu multipliziert?

Ist es denn wichtig wie man auf an, bn und a0 kommt? Ich meine ich hab erst 6h was davon gehört und naja ich studiere nicht mal(gehe in die 13. Klasse(HTL)).


Und dann haben wir auch Merkmale der Fourier-Reihe aufgeschrieben, die ich nicht ganz verstehe:

1. Der Wert der Reihe ist
a.) in allen Stetigkeitspunkten gleich dem Funktionswert f(x)
b.) in den Unstetigkeitsstellen gleich dem Mittelwert der linken und der rechten Stelle.

2.
$a0=\frac{1}{pi}*\int_{-pi}^{pi} f(x)*dx$

Die Fläche über und unter der Kurve im Intervall ]-pi;pi].
a0 ist dann gleich Null, wenn der Flächenanteil oberhalb der x-Achse gleich dem unterhalb der x-Achse ist.

3. Handelt es sich um eine gerade Funktion(symmetrisch zur x-Achse) --> bn-Anteile fallen weg(=0).

4. Handelt es sich um eine ungerade Funktion(punktsymmetrisch zum Ursprung) --> an-Teile fallen weg(=0). a0 ist ebenfalls =0.

5. Bei geraden und ungeraden Funktionen kann bei der Berechnung der Koeffizienten statt auch das Integral in der Form berechnet werden.

Punkt 1:
a: wie soll das gehn? ein stetigkeitspunkt ist ja jener punkt auf der gezeichneten Funktion. Wie kann das immer f(x) sein. Bitte mit Bsp erklären.
b:Mittelwert = Durchschnitt, oder? Welche linke und rechte Stelle? Ev. wieder ein Bsp nennen bitte.

Punkt 2:
Das verstehe ich überhaupt nicht. Bitte erklärt mir dsa genau.

Punkt 3:
Das könnte ich jetzt einfach so hinnehmen wie sachen die weiter oben stehn, aber wo ist der Beweis, wo sehe ich es das die bn-Anteile wegfallen. Warum fallen sie weg?

Punkt 4:
Gleiche Frage wie bei Punkt 3. Warum fällt da a0 auch weg?

Punkt 5:
Veranschaulicht mir das bitte näher, das ich das verstehe.

Ja ich weiß viele Frage, ich hoffe jemand hilft mir, weil ich möchte das gerne können, ich hab mich auch informiert im Internet über Fourierreihen, aber das ist da kompliziert erklärt und darum Frage ich hier.

Danke im voraus!

Gruß
zyko Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Fourierreihe zu der Funktion , die vielleicht als Taylorreihe gegeben ist, ist die Darstellung der Funktion bzgl. des Basissystems und
Deshalb muss die Fourierreihe lauten:
.
Hierbei handelt es sich um ein orthogonales Funktionensystem, d.h.
.
Dasselbe gilt für und andere Kombinationen.

Nun zu deinen Fragen:
Versuche dir dazu ein Rechtecksignal vorzustellen.

add 1. Überall dort wo das Signal konstant ist, sind linker und rechter Wert gleich, deshalb ist dort
. Daraus folgt Die gleiche Formel gilt auch für die Unstetigkeitsstellen.

add 2. . Somit ist der doppelte Mittelwert; denn man approximiert als erstes f(x) durch den konstanten Anteil anschließend folgen die höheren Frequenzen .
Deren Anteile sind durch gegeben.

add 3. Schau dir die Definition von an. Wenn f(x)=f(-x) ist, dann sind alle Integrale, die sin(nx) enthalten identisch 0.

add 4. Generell die beschreiben Geradenanteile und die die ungeraden.
Schau jetzt auf die Definition von . Zu jedem existiert ein so, dass . Deshalb ist der Integralwert 0.

add 5.
- Die Fourierreihe ist eine andere Darstellung für die Funktion f(x), bei der dereen Frequenzanteile aus den Koeffizienten und unmittelbar abgelesen werden können. Wegen der Orthogonalität des Basissystems enthält kein Koeffizient Frequenzanteile anderer Koeffizienten.
- Bei allen Schwingungsproblemen, elektrisch oder mechanisch, besitzt diese Darstellung (Frequenzanteil) große Vorteile.
- Bei allen Berechnungen sollten zur Bestimmung der Koeffizienten die erwähnte Orthogonalität benutzt werden, da damit der Integrand wesentlich einfacher berechnet werden kann.
guest234 Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal danke für deine Mühe!

Zitat:
Original von zyko

Nun zu deinen Fragen:
Versuche dir dazu ein Rechtecksignal vorzustellen.

add 1. Überall dort wo das Signal konstant ist, sind linker und rechter Wert gleich, deshalb ist dort
. Daraus folgt Die gleiche Formel gilt auch für die Unstetigkeitsstellen.

add 2. . Somit ist der doppelte Mittelwert; denn man approximiert als erstes f(x) durch den konstanten Anteil anschließend folgen die höheren Frequenzen .
Deren Anteile sind durch gegeben.

add 3. Schau dir die Definition von an. Wenn f(x)=f(-x) ist, dann sind alle Integrale, die sin(nx) enthalten identisch 0.

add 4. Generell die beschreiben Geradenanteile und die die ungeraden.
Schau jetzt auf die Definition von . Zu jedem existiert ein so, dass . Deshalb ist der Integralwert 0.

add 5.
- Die Fourierreihe ist eine andere Darstellung für die Funktion f(x), bei der dereen Frequenzanteile aus den Koeffizienten und unmittelbar abgelesen werden können. Wegen der Orthogonalität des Basissystems enthält kein Koeffizient Frequenzanteile anderer Koeffizienten.
- Bei allen Schwingungsproblemen, elektrisch oder mechanisch, besitzt diese Darstellung (Frequenzanteil) große Vorteile.
- Bei allen Berechnungen sollten zur Bestimmung der Koeffizienten die erwähnte Orthogonalität benutzt werden, da damit der Integrand wesentlich einfacher berechnet werden kann.


Zum add1: Kannst du mir das einfacher erklären bitte? Ich verstehe das überhaupt nicht. Wo ist jetzt die Unstetigkeitsstelle bzw. Stetigkeitsstelle? Unstetig ist da wo es springt?

add2: Mh, so klar ist mir das auch nicht sorry unglücklich . Je mehr Terme desto annähender wirds. Aber was ist mit doppelten Mittelwert? Was ist ein Mittelwert bei der Funktion überhaupt?

add3: Mh ok f(x)=f(-x) tritt auf bei Symmetrie mit x-Achse richtig? Wenn ich mir bn anschau, verstehe ich nicht warum das 0 sein sollte?

add4: ok das verstehe ich auch nicht, wie du auf das gekommen bist? Bitte erklärt mir das näher. Sorry wenn ich es net verstehe, ist halt schwierig.

add5: Hier kann ich mir das auch net wirklich vorstellen was da gemeint ist.

Würde mich freuen wenn ihr mit weiter helft.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von guest234
Wo ist jetzt die Unstetigkeitsstelle bzw. Stetigkeitsstelle? Unstetig ist da wo es springt?


Richtig. Und da ergibt die Fourierreihe eben die Mitte zwischen den beiden Werten, zwischen denen die Originalfunktion springt.

Zitat:
Original von guest234
Was ist ein Mittelwert bei der Funktion überhaupt?


Der "Gleichanteil". Um diesen Wert schwankt die Funktion.

Zitat:
Original von guest234
f(x)=f(-x) tritt auf bei Symmetrie mit x-Achse richtig?


Nein, die Symmetrieachse ist dann die y-Achse. An der wird gespiegelt.

Zitat:
Original von guest234
Wenn ich mir bn anschau, verstehe ich nicht warum das 0 sein sollte?


Die bn entstehen, wenn die Funktion mit einem Sinus multipliziert wird. Dadurch gleichen sich die Flächen rechts von der y-Achse genau mit denen links von der y-Achse aus, denn derselbe Wert wird einmal mit der positiven Halbwelle des Sinus und einmal mit der negativen multipliziert.

Zitat:
Original von guest234
das verstehe ich auch nicht


Bei den an wird eben mit einem Cosinus multipliziert. Hier gilt dasselbe wie oben, die Flächen gleichen sich aus, wenn die Funktion ungerade ist.

Ich zeig Dir's mal kurz. Nehmen wir als gerade Funktion eine Normalparabel:



Dann nehmen wir einen Sinus:



Jetzt multiplizieren wir die beiden:



Siehst Du, daß sich die Flächen links und rechts genau ausgleichen? Und daß der Mittelwert (also das bn) eben Null ist? Gut. Machen wir dasselbe mit einer ungeraden Funktion (x³) und einem Cosinus:







Und genau das war damit gemeint, mehr nicht.

Zitat:
Original von guest234
Hier kann ich mir das auch net wirklich vorstellen was da gemeint ist.


Das bedeutet nur, was Du jetzt schon gesehen hast: die Flächen links und rechts sind ja immer dieselben, und Mathematiker sind furchtbar faul. Sie berechnen also nur die rechte Fläche und verdoppeln sie.

Viele Grüße
Steffen
guest234 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, aber das mit der Symmetrie ist mir nicht klar.

sin(x) ist eine punktsymmetrische bzw. antisymmetrische funktion und cos(x) ist symmetrisch.

Wenn jetzt f(x) punktsymmetrisch ist, dann wird ja:

bei bn: f(x)*sin(x) --> also punktsymmetrisch*punktsymmetrisch
bei an: f(x)*cos(x) --> also punktsymmetrisch*symmetrisch


Wenn jetzt f(x) symmetrsich ist, dann ja:
bei bn: f(x)*sin(x) --> also symmetrisch*punktsymmetrisch
bei an: f(x)*cos(x) --> also symmetrisch*symmetrisch


Also könnte ihr mir erklären was da nun genau passiert bitte? Dann habe ich es sicher ganz verstanden.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von guest234
Wenn jetzt f(x) punktsymmetrisch ist, dann wird ja:

bei bn: f(x)*sin(x) --> also punktsymmetrisch*punktsymmetrisch


...und dieses Produkt ist dann eben eine symmetrische Funktion! Und nur eine symmetrische Funktion kann einen Mittelwert haben, weil sich da die Flächen unter und über der x-Achse nicht ausgleichen. Und dieser Mittelwert ist eben der Fourierkoeffizient.

Für die anderen Fälle gilt entsprechend:
  • punktsymmetrisch*symmetrisch=punktsymmetrisch
  • symmetrisch*punktsymmetrisch=punktsymmetrisch
  • symmetrisch*symmetrisch=symmetrisch

Deswegen nennt man ja auch die symmetrischen Funktionen gerade und die punktsymmetrischen ungerade, weil bei geraden und ungeraden Zahlen dasselbe gilt.

Viele Grüße
Steffen
 
 
zyko Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte betrachte dir auch die Graphiken von Steffen Bühler und berücksichtige, dass die Integration einer Flächenberechnung entspricht, bei der Flächen unterhalb der x-Achse negativ sind!

Zitat:
Original von guest234
Danke, aber das mit der Symmetrie ist mir nicht klar.

sin(x) ist eine punktsymmetrische bzw. antisymmetrische funktion und cos(x) ist symmetrisch.

Wenn jetzt f(x) punktsymmetrisch ist, dann wird ja:

bei bn: f(x)*sin(x) --> also punktsymmetrisch*punktsymmetrisch
bei an: f(x)*cos(x) --> also punktsymmetrisch*symmetrisch


Wenn jetzt f(x) symmetrsich ist, dann ja:
bei bn: f(x)*sin(x) --> also symmetrisch*punktsymmetrisch
bei an: f(x)*cos(x) --> also symmetrisch*symmetrisch


Also könnte ihr mir erklären was da nun genau passiert bitte? Dann habe ich es sicher ganz verstanden.


Da der sin(x) nur ungerade Potenzen von x enthält ist er punktsymmetrisch zum Nullpunkt.
Da der cos(x) nur gerade Potenzen von x enthält ist er symmetrisch zur y-Achse.

f(x) punktsymmetrisch:
f(x)*sin(x) --> also punktsymmetrisch*punktsymmetrisch: --> f(x) =f(-x)
Werden zwei punktsymmetrische Funktionen miteinander multipliziert enstehen nur gerade Potenzen von x, d.h. es entsteht eine symmetrische Funktion.

f(x)*cos(x) --> also punktsymmetrisch*symmetrisch:--> f(x) =-f(-x)
In diesem Fall liefert das Produkt nur ungerade Potenzen von x. Man erhält eine punktsymmetrische Funktion.

f(x) symmetrsich:
f(x)*sin(x) --> also symmetrisch*punktsymmetrisch:--> f(x) =-(-x)
In diesem Fall liefert das Produkt nur ungerade Potenzen von x. Man erhält eine punktsymmetrische Funktion.

f(x)*cos(x) --> also symmetrisch*symmetrisch:--> f(x) =f(-x)
Werden zwei symmetrische Funktionen miteinander multipliziert enstehen nur gerade Potenzen von x, d.h. es entsteht eine symmetrische Funktion.
guest234 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!

Ok den Mittelwert berechnet man ja so:



Und symmetrische Funktionen haben eine Mittelwert und bei punktsymetrischen ist der 0, da sich die Flächen aufheben.


Laut Wolfram alpha ist der Mittelwert aber auch 0 von sin(x), warum? Jetzt bin ich verwirrt. Ich dachte der Mittelwert von symmetrischen haben einen Mittelwert?

Beim cos(x) ist er auch 0, laut wolframalpha.

Wie kann ich mir den eine Mittelwert vorstellen bei einen sin(x) und einem cos(x)? Wo ist dieser zu sehen beim sin bzw. cos?

Warum haben nur symmetrische Funktionen einen Mittelwert? Ich glaube da ist der Hund begraben, wenn ich sehe wo der Mittelwert ist und wie der zustande kommt, dann wirds klar hoffe ich.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich ist es ja zykos Thread, aber da er gerade nicht da ist...

Zitat:
Original von guest234
Und symmetrische Funktionen haben eine Mittelwert


Nein, sie können einen haben. Wie Du ja schon festgestellt hast, ist f(x)=cosx zwar symmetrisch, hat aber den Mittelwert Null. Das liegt daran, daß sich zwar nicht die Flächen links und rechts der y-Achse aufheben, aber diejenigen innerhalb einer Periode:


Addiert man aber nun z.B. eine Konstante dazu, bleibt die Funktion symmetrisch, hat aber einen Mittelwert, der ebendieser Konstanten entspricht - der Cosinus schwankt hier zum Beispiel um 0,5:



Hier kann man den Mittelwert tatsächlich mit bloßem Auge ablesen, normalerweise aber muß man eben tatsächlich die positiven und negativen Flächen zusammenzählen und durch die Periode dividieren. Und nichts anderes macht die Formel für die Fourierkoeffizienten.

Viele Grüße
Steffen
guest234 Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh, danke jetzt habe ich es geschnallt!

Wenn ich eine funktion f(x)=sin(x)+0,5 habe.

f(x) wäre jetzt nicht Symmetrisch und auch nicht punktsymmetrisch. Entweder man rechnet jetzt normal mit den Formeln a0, an und bn, oder man macht f(x)-0,5 und dann wäre diese Funktion punktsymmetrisch und an=a0=0.

Sehe ich das richtig?

Warum lautet die Fourierreihe nicht einfach a0+.... am Anfang? Warum rechnet man net einfach den Mittelwert gleich mit aus?


Ich vermute ich sollte erstmal so hinnehmen warum symmetrisch*symmetrisch = symmetrisch ist und warum punktsymmetrisch*symmetrisch = punktsymmetrisch ist, oder gibts da eine einfache Erklärung dazu?

Der Mittelwert ist ja jener Abstand von der x-Achse zu der Mitte von der Funktion, oder? Also einfach die Höhe des Rechtecks.

Naja bei der Fourierreihe addiert man halt unendliche viele Mittelwerte von verschiedenen Oberschwingungen von sin und cos.

Was bezweckt denn überhaupt ein Mittelwert?
"Der "Gleichanteil". Um diesen Wert schwankt die Funktion." --> Ja gut Gleichanteil, wie kann man sich das vorstellen?

Danke im voraus!

Gruß
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von guest234
Entweder man rechnet jetzt normal mit den Formeln a0, an und bn, oder man macht f(x)-0,5 und dann wäre diese Funktion punktsymmetrisch und an=a0=0.


Ja, das unterscheidet einen Mathematiker vom Ingenieur. Augenzwinkern

Zitat:
Original von guest234Warum lautet die Fourierreihe nicht einfach a0+.... am Anfang? Warum rechnet man net einfach den Mittelwert gleich mit aus?


Das geht natürlich auch, irgendwo muß man halt die Ausnahme für Null machen. So hat's sich's eben eingebürgert, in die Reihe zu schreiben.

Zitat:
Original von guest234Ich vermute ich sollte erstmal so hinnehmen warum symmetrisch*symmetrisch = symmetrisch ist und warum punktsymmetrisch*symmetrisch = punktsymmetrisch ist, oder gibts da eine einfache Erklärung dazu?


Vielleicht wird's anhand der Graphen anschaulicher: nimm zwei Graphen von symmetrischen Funktionen. Jetzt multipliziere erst einmal die Teile rechts von der y-Achse. Da kommt dann irgendeine Kurve raus. Wenn Du jetzt dasselbe für den linken Teil machst, muß die gleiche Kurve gespiegelt rauskommen, denn die Funktionswerte der beiden Graphen links sind ja dieselben wie rechts.

Und beim Fall "punktsymmetrisch*symmetrisch" sind die Beträge der Funktionswerte auch dieselben, nur klappt die Kurve links noch zusätzlich nach unten, weil noch eine -1 von der unsymmetrischen Funktion reinmultipliziert wird.

Zitat:
Original von guest234Der Mittelwert ist ja jener Abstand von der x-Achse zu der Mitte von der Funktion, oder? Also einfach die Höhe des Rechtecks.


Ich weiß zwar nicht, welches Rechteck Du meinst, aber in der Tat ist der Mittelwert die Mitte der Funktion, denn die x-Achse hat ja den Funktionswert Null.

Zitat:
Original von guest234Gleichanteil, wie kann man sich das vorstellen?


Da gibt's viele Möglichkeiten. Aktienkurse, Fieberkurven, Benzinpreise, überall könnte man eine horizontale Linie für den Durchschnitt reinlegen. Das ist der Mittelwert der Kurve.

Viele Grüße
Steffen
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