2sin(z)^2+cos(2z)=1 für jede komplexe Zahl warum?

03.01.2013, 18:05	gentleben	Auf diesen Beitrag antworten »
2sin(z)^2+cos(2z)=1 für jede komplexe Zahl warum? Meine Frage: Hi ich scheitere gerade an einer Aufgabe wie schon der Titel vielleicht vermuten lässt, soll ich herleiten, das für alle Komplexen Zahlen z die Formel: $\begin{eqnarray} 2\sin(z)^{2}+cos(2z) = 1 \end{eqnarray}$ gilt. Mein Ansatz war das ganze gleich zu setzen mit $\begin{eqnarray} sin(z)^{2} + cos(z)^{2} = 1 \end{eqnarray}$ aber das brachte mich nicht sonderlich ans Ziel. Wäre super wenn ihr mir da die Augen öffnen könntet. Und ein paar Tipps wie man generell vorgeht bei solchen Beweisen wären auch super. Meine Ideen: sin(z)^{2} + cos(z)^{2} = 1
03.01.2013, 18:12	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Vorgehen hängt natürlich entscheidend davon ab, was du bereits über die komplexe Sinus- und Kosinusfunktion verwenden darfst. Es wäre z.B. wichtig zu wissen, welche Definition ihr für diese Funktionen zugrunde legt! Etwa $\begin{eqnarray} \sin(z) := -i\sinh(iz) = -\frac{i(e^{iz}-e^{-iz})}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cos(z) := \cosh(iz) = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} \end{eqnarray}$ oder doch anders?
03.01.2013, 18:34	gentleben	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja in einem Beipackzettel zu den Übungen ist das so definiert worden im Komplexen. Danke für die Antwort Sorry habe einen Fehler gemacht: sin(z) = (e^(iz) -e^(-iz))/2i
03.01.2013, 18:41	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Na wenn du dann noch $\begin{eqnarray} e^a\cdot e^b = e^{a+b} \end{eqnarray}$ auch für komplexe a,b nutzen darfst, dann ist durch Einsetzen in die Definition und Ausmultiplizieren alles ruckzuck fertig.
03.01.2013, 18:49	gentleben	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke aber habe mir das gerade nochmal angesehen und einen Fehler bei der Angabe meiner sin(z) Funktion gemacht. Tut mir Leid
03.01.2013, 19:02	gentleben	Auf diesen Beitrag antworten »
ich glaube ich habs.. habe in einem Auszug einer Formelsammlung etwas gefunden und das hat mich auf folgendes gebracht: I : $\begin{eqnarray} 2\sin(z)^{2}+cos(2z)=1 \end{eqnarray}$ mit II : $\begin{eqnarray} sin(z)^{2} = \frac{1-cos(2z)}{2} \end{eqnarray}$ ergibt das einsetzen von II in I 1 = 1 Sorry das ich so betriebsblind war. Vielen Dank nochmal tolles Forum
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03.01.2013, 19:14	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du dieses im Reellen selbstverständliche Additionstheorem II auch so ohne weiteres im Komplexen benutzen darfst, dann kannst du so vorgehen, ja.

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