Gleichungssystem über eine Matrix mithilfe des Gauß-Algorithmus berechnen

03.01.2013, 18:41

134340

Gleichungssystem über eine Matrix mithilfe des Gauß-Algorithmus berechnen

Ich habe folgendes Gleichungssystem gegeben:

code:
1: 2: 3: 4:	(I) 2a +b -2c -d = 1 (II) 2a -b +c -3d = -16 (III) 5a -2b -3c +d = 9 (IV) 3a +3b -2c -2d = 1

Nun wandel ich das Alles in eine Matrix um und wende den Gauß-Algorithmus an. Aber da habe ich mich leider irgendwo verrechnet -.-

Die Matrix sieht folgendermaßen aus:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & -2 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 & -3 & -16 \\ 5 & -2 & -3 & 1 & 9 \\ 3 & 3 & -2 & -2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Ich schreibe meine Rechenschritte immer vor die jeweilige Matrixzeile Augenzwinkern

Hier noch einmal die Matrix mit der entsprechenden Bezeichnung der Zeilen:
$\begin{eqnarray*} (I) \\ (II) \\ (III) \\ (IV) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & -2 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 & -3 & -17 \\ 5 & -2 & -3 & 1 & 9 \\ 3 & 3 & -2 & -2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die erste Reduktion habe ich folgendermaßen durchgeführt:
$\begin{eqnarray*} (I) \\ (II)-(I) \\ 2(III)-5(I) \\ 2(IV)-3(I) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & -2 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & 3 & -2 & -17 \\ 0 & -9 & 4 & 7 & 13 \\ 0 & 3 & 2 & -1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da sich die erste Zeile und die erste Spalte nun nicht mehr verändern schreibe ich das ganze nun als eine 3x4 Matrix und ich nenne die Zeilen jetzt einfach mal a, b und c Big Laugh

(Warum? weil ich das so gelernt habe Big Laugh

) Das ganze sieht dann so aus:
$\begin{eqnarray*} (a) \\ (b) \\ (c) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 & 3 & -2 & -17 \\ -9 & 4 & 7 & 13 \\ 3 & 2 & -1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bei der zweiten Reduktion gehe ich nun wie folgt vor:
$\begin{eqnarray*} (a) \\ 2(b)-9(a) \\ 2(c)+3(a) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 & 3 & -2 & -17 \\ 0 & -19 & 32 & 179 \\ 0 & 11 & -8 & -53 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bei der dritten Reduktion lass ich jetzt auch die konstanten Spalten und Zeilen weg und bezeichne die neuen Zeilen mit d und e Big Laugh

:
$\begin{eqnarray*} (d) \\ (e) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -19 & 32 & 179 \\ 11 & -8 & -53 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Reduktion sieht nun folgendermaßen aus:
$\begin{eqnarray*} (d) \\ 19(e)+11(d) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -19 & 32 & 179 \\ 0 & 200 & 962 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und alles in eine Matrix zusammengefasst ergibt:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & -2 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & 3 & -2 & -17 \\ 0 & 0 & -19 & 32 & 179 \\ 0 & 0 & 0 & 200 & 962 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber das stimmt nichts unglücklich

weil die Matrix die ich hier als Lösung gegeben habe sieht anders aus und ich finde leider den Fehler nich unglücklich

Ich weiß das ist sehr schwer im Board zu erklären und verlangt von den Helfern auch viel eigene Rechnungen, aber ich hoffe dass mir trotzdem Jemand hilft smile

03.01.2013, 18:57

Gast11022013

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Dir sollte ein fehler bei folgendem Schritt passiert sein:

$\begin{eqnarray*} 2(c)+3(a) \end{eqnarray*}$

Der erste Wert stimmt.

Im zweiten Wert rechnest du dann:

$\begin{eqnarray*} 2\cdot 2+3\cdot 3=11 \end{eqnarray*}$

Es sollten aber 13 sein.

Weiter habe ich noch nicht geprüft.

Edit:

Wenn du den Fehler ausbessert, dann ergibt sich in der letzten Zeile 264 anstatt von 200 und 1320 anstelle von 962.

Daraus hast du dann ein $\begin{eqnarray*} d=5 \end{eqnarray*}$

03.01.2013, 19:51

134340

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achso^^ und ich dachte schon, dass ich da was von grundauf falsch mache^^ Wenn ich 13 statt 11 habe, stimmt das ergebnis auch smile

. Danke für die Hilfe Big Laugh

03.01.2013, 20:04

Gast11022013

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Gern geschehen.
Wink

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