Ist Wurzel 12 irrational? Frage zu Beweis

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Lillllli Auf diesen Beitrag antworten »
Ist Wurzel 12 irrational? Frage zu Beweis
Meine Frage:
Hallo,
ich möchte zeigen, dass Wurzel 12 irrational ist.


Meine Ideen:

Dabei möchte ich die Irrationalität von Wurzel 12 auf die Irrationalität von Wurzel 3 zurückführen - das habe ich schon mal irgendwo gelesen.

Also

Ich weiß schon, dass Wurzel 3 irrational ist.

Aber ist auch 2 mal Wurzel 3 irrational? Und gilt das dann auch für alle Vielfachen von Wurzel 3? Und warum?

Vielen Dank für eure Hilfe
Lilli
Tesserakt Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ist Wurzel 12 irrational? Frage zu Beweis
Zitat:
Original von Lillllli
Und gilt das dann auch für alle Vielfachen von Wurzel 3? Und warum?


Gegenbeispiel: ist offenbar nicht irrational.

Aber ist tatsächlich für alle irrational. Alle ganzzahligen Vielfache von (abgesehen vom -fachen) sind also irrational.

Beweisidee für den Spezialfall : Angenommen, . Dann existieren teilerfremde mit

.

Wie könnte man fortfahren?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ist Wurzel 12 irrational? Frage zu Beweis
Angenommen , dannn gibt es ganze Zahlen p und q mit , dann...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ist Wurzel 12 irrational? Frage zu Beweis
Zitat:
Original von Tesserakt
Aber ist tatsächlich für alle irrational. Alle ganzzahligen Vielfache von sind also irrational.


Wenn man einmal von absieht ... Augenzwinkern

Im übrigen: Viel zu kompliziert. Daß irrational ist, wenn irrational und rational ist, folgt sofort aus den Körpereigenschaften von . Man führe einen Beweis durch Widerspruch.
Tesserakt Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ist Wurzel 12 irrational? Frage zu Beweis
Zitat:
Original von Leopold

Wenn man einmal von absieht ... Augenzwinkern

Ich ergänzte bereits.

Zu den Körpereigenschaften: Darauf wollte ich mit meinem Beweis hinaus.
Angenommen , dann wäre auch rational.
Ob das stimmen kann? Augenzwinkern
Lilllli Auf diesen Beitrag antworten »

Dann könnte ich das umformen zu

Darf ich jetzt quadrieren? Ich meine das ist doch keine Äquivalenzumformung...

Und dann müsste ich das irgendwie auf einen Widerspruch führen

Zitat:
Aber ist tatsächlich für alle irrational

Ja, das meinte ich smile hab mich da nicht genau ausgedrückt...
 
 
Tesserakt Auf diesen Beitrag antworten »

Was folgt denn aus ?
Ist dann rational oder irrational?
Lilllli Auf diesen Beitrag antworten »

Wurzel 3 müsste rational sein, da ich es als Bruch darstellen kann. Widerspruch, da Wurzel 3 irrational ist, richtig?
Tesserakt Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lilllli
Wurzel 3 müsste rational sein, da ich es als Bruch darstellen kann. Widerspruch, da Wurzel 3 irrational ist, richtig?


Richtig.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ist Wurzel 12 irrational? Frage zu Beweis
Zitat:
Original von Tesserakt
Angenommen


Du brauchst und nicht.

Sei irrational und rational. Wäre dann rational, so auch (denn die rationalen Zahlen bilden eine Körper). Widerspruch!
Lilllli Auf diesen Beitrag antworten »

Und ich brauche, dass die rationalen Zahlen einen Körper bilden, weil ich dann durch b teilen kann (da jeweils das Inverse existiert)...

Noch eine Frage zur Irrationalität von

Da gehe ich ja so vor:
Angenommen wäre rational. Dann könnte man die Zahl als Bruch zweier teilerfremder Zahlen a und b schreiben. Also
. Und dann wird quadriert und das ganze auf einen Widerspruch geführt. Das habe ich alles verstanden außer dem Quadrieren.

Warum darf ich das denn machen? Das ist doch keine Äquivalenzumformung...
Tesserakt Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist keine Äquivalenzumformung, aber dennoch gilt ja .

@Leopold: ok, stimmt. Ich habe halt und verwendet, weil man es ja meistens anschaulich so schreibt (keine Ahnung, in welchem Jahrgang die Fragenstellerin ist).
Hinaus wollte ich jedenfalls auf das Gleiche. Wenn und , dann .
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lilllli
Warum darf ich das denn machen? Das ist doch keine Äquivalenzumformung...

1. Wo wird hier gebraucht, dass Quadrieren eine Äquivalenzumformung ist?
2. Bei Beschränkung auf nichtnegative reelle Zahlen, welche man hier o.B.d.A. annehmen darf, ist Quadrieren eine Äquivalenzumformung...
Lilllli Auf diesen Beitrag antworten »

ok, ich habs verstanden.

Richtig, wir brauchten ja gar keine Äquivalenzumformung sondern nur eine Folgerung und das stimmt auf jeden Fall
Wobei das hier dann ja trotzdem eine Äquivalenzumformung ist (es wäre ja nur keine, wenn wir negative Zahlen verwenden würden...

Vielen Dank an alle Helfenden smile
Lilli
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Bei Irrationalitätsbeweisen verwende ich gerne eine andere Argumentationsweise. Sie ist sofort übertragbar auf höhere Potenzen und zeigt, daß für jede ganze Zahl die Zahl irrational ist, wenn die positive ganze Zahl nicht gerade -te Potenz einer ganzen Zahl ist.
Mit dieser Argumentation ist die Irrationalität von ebenso klar wie die von .
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Oder so: Angenommen für ein gilt



für positive ganze Zahlen a und b... Dann folgt daraus sofort



und daher



wobei für eine positive ganze Zahl m die Vielfachheit bezeichnet, mit der p in der Primfaktorzerlegung von m vorkommt... Wegen



muss also dann n tatsächlich eine k-te Potenz einer natürlichen Zahl sein...
Lilllli Auf diesen Beitrag antworten »

@Mystik: ich habe bei deinem Beweis eigentlich alles verstanden, aber nicht, warum dann folgt, dass n tatsächlich eine k-te Potenz einer natürlichen Zahl ist.

Wenn ich das richtig verstanden habe gilt:

Zitat:


Das bedeutet ja, dass für jede einzelne Primzahl gilt, dass

k mal Anzahl der p in b + Anzahl der p in v = k mal Anzahl der p in a

und das muss für alle Primzahlen gelten, wegen der Gleichung und da man jede Zahl eindeutig in Primfaktoren zerlegen kann.

Und gilt, da



k teilt also die Hochzahl von p in der Primfaktorzerlegung
Aber warum folgt jetzt das und ich brauche doch dann irgendwie einen Widerspruch, weil ich ja angenommen hatte, dass die k-te Wurzel von n rational sein soll..
Zitat:
muss also dann n tatsächlich eine k-te Potenz einer natürlichen Zahl sein...
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lilllli
k teilt also die Hochzahl von p in der Primfaktorzerlegung
Aber warum folgt jetzt das und ich brauche doch dann irgendwie einen Widerspruch, weil ich ja angenommen hatte, dass die k-te Wurzel von n rational sein soll..
Zitat:
muss also dann n tatsächlich eine k-te Potenz einer natürlichen Zahl sein...

Ok, ist



die Primfaktorzerlegung von n, so gilt ja in jedem Fall



Wie wir aber oben gezeigt haben, ist unter den gegebenen Voraussetzungen



d.h., die kte Wurzel aus n ist tatsächlich eine ganze Zahl, m.a.W. wenn wir beidseitig die k-te Potenz bilden, n ist eine k-te Potenz einer natürlichen Zahl...
Tesserakt Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Aber warum folgt jetzt das und ich brauche doch dann irgendwie einen Widerspruch


Aus dem geführten Beweis folgt:
(I)

Es gilt , somit . Daher .

Angenommen, ist rational. Dann folgt aus aus (I), dass natürlich ist, im Widerspruch zu .


Edit: Sorry, zu spät gemerkt, dass bereits geantwortet wurde.
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