zz: Parabel ist auf jedem kompakten Intervall lipschitzstetig aber nicht auf der ges. reellen Gerade

03.01.2013, 23:46

Tatzka

zz: Parabel ist auf jedem kompakten Intervall lipschitzstetig aber nicht auf der ges. reellen Gerade

Meine Frage:
Hallo,
meine Aufgabe lautet:
zeige: Die Parabel t --> t² ist auf jedem kompakten Intervall lipschitzstetig, nicht aber auf der gesamten reellen Geraden.

Meine Ideen:
Definition:
$\begin{eqnarray*} f:E \supset D \rightarrow F \end{eqnarray*}$ ist litschitzstetig auf D $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ wenn es existiert ein $\begin{eqnarray*} L \geq 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} ||f(u)-f(v)||_F \leq L \cdot ||u-v||_E \end{eqnarray*}$ für alle u,v in D.

zu zeigen ist
Teil 1: $\begin{eqnarray*} f_I: \mathbb{R} \supset I \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit t wird abgebildet auf t² ist lipschitzstetig

Teil 2: $\begin{eqnarray*} f_R: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit t wird abgebildet auf t^2 ist nicht lipschitzstetig.

zu Teil 1:
Ich betrachte jetzt also $\begin{eqnarray*} ||f(u)-f(v)||_R \end{eqnarray*}$ und muss zeigen, dass dieses kleiner als die Lipschitzkonstante L mal $\begin{eqnarray*} ||u-v||_R \end{eqnarray*}$ ist.
Also

$\begin{eqnarray*} ||f(u)-f(v)||_R= \end{eqnarray*}$

Jetzt möchte ich gerne für f(u) u² einsetzen und für f(v) v² aber in welchem Raum bin ich dann? Also welche Norm muss ich verwenden?

Ich sehe auch noch nicht, warum ich kompakt benötige (also jedes kompakte Intervall ist abgeschlossen.. vielleicht hilft das etwas)

zu Teil 2: Genügt es hier einfach den Quotienten $\begin{eqnarray*} \frac{||f(u)-f(v)||_R}{||u-v||_R} \end{eqnarray*}$ zu betrachten (der ja bei Lipschitzstetigkeit kleinergleich L sein müsste zu betrachten und zeigen, dass dieser Quotient gegen unendlich geht (und damit über jedes feste L wächst)?

Hier müsste ich dann nur noch die gesamte reelle Gerade einbringen...

Vielen Dank schon mal für die Hilfe
lg Tatzka

04.01.2013, 11:39

Leopold

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Da $\begin{eqnarray*} f(t)=t^2 \end{eqnarray*}$ eine Funktion $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist, kannst du als Norm einfach den gewöhnlichen reellen Betrag nehmen. Beginne dann mit $\begin{eqnarray*} \left| f(u) - f(v) \right| \end{eqnarray*}$ , setze ein, denke an die berühmte Formel und die Verträglichkeit des Betrags mit der Multiplikation.

Wichtiger als die Abgeschlossenheit des Intervalls ist hier seine Beschränktheit.

04.01.2013, 13:41

Tatzka

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ok, also einsetzen und die 3. Binomische Formel anwenden liefert:
$\begin{eqnarray*} ||f(u)-f(v)||_R=|f(u)-f(v)|=|u^2-v^2|=|(u-v)(u+v)| \end{eqnarray*}$

Jetzt stehe ich wieder vor einem Problem. Ich möchte ja am Ende dastehen haben:

$\begin{eqnarray*} |(u-v)(u+v)| \leq L \cdot |u-v| \end{eqnarray*}$

Aber mein Problem ist, dass ich wenn ich |(u-v)(u+v)| auseinanderziehe, ich schon eine Ungleichheit bekomme:

$\begin{eqnarray*} |(u-v)(u+v)|\leq |(u-v)||(u+v)| \end{eqnarray*}$ .
Könnte ich diese Ungleichheit direkt verwenden, um L zu bestimmen?

$\begin{eqnarray*} |(u-v)(u+v)|\leq |(u-v)||(u+v)|\leq (|u|+|v|)\cdot |(u-v)|\leq L \cdot |(u-v)| \end{eqnarray*}$ .
mit $\begin{eqnarray*} L= 2 \cdot max\{|u|, |v|\} \end{eqnarray*}$

Dann noch eine Frage: kompakte bedeutet ja beschränkt und abgeschlossen. Du sagtest schon, dass die Beschränktheit hier wichtiger ist. Aber wo verwende ich diese denn?

04.01.2013, 16:01

Leopold

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Zitat:

Original von Tatzka
Aber mein Problem ist, dass ich wenn ich |(u-v)(u+v)| auseinanderziehe, ich schon eine Ungleichheit bekomme:

$\begin{eqnarray*} |(u-v)(u+v)|\leq |(u-v)||(u+v)| \end{eqnarray*}$

Irrtum (wenn auch hier unwesentlich). Es gilt nämlich

$\begin{eqnarray*} \left| A \cdot B \right| = |A| \cdot |B| \end{eqnarray*}$

Das ist die Verträglichkeit des reellen Betrags mit der Multiplikation, von der ich vorhin gesprochen habe. Daher kannst du

$\begin{eqnarray*} \left| (u+v)(u-v) \right| = \left| u+v \right| \cdot \left| u-v \right| \end{eqnarray*}$

schreiben.

Zitat:

Original von Tatzka
$\begin{eqnarray*} L= 2 \cdot max\{|u|, |v|\} \end{eqnarray*}$

Dieses $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ ist ja gar nicht konstant. Wie die rechte Seite zeigt, hängt es von $\begin{eqnarray*} u,v \end{eqnarray*}$ ab. Du mußt aber ein von $\begin{eqnarray*} u,v \end{eqnarray*}$ unabhängiges $\begin{eqnarray*} L>0 \end{eqnarray*}$ angeben. Wenn jetzt z.B. $\begin{eqnarray*} I = [-2013,\infty) \end{eqnarray*}$ ist (dieses Intervall ist abgeschlossen, aber nicht beschränkt) und $\begin{eqnarray*} u,v \in I \end{eqnarray*}$ gilt, dann gibt es solch ein $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ auch gar nicht. Wenn aber ...

Zitat:

Original von Tatzka
Du sagtest schon, dass die Beschränktheit hier wichtiger ist.

Eben.

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