Problem bei Darstellungsmatrix aus linearer Abbildung

04.01.2013, 01:21	DerReflektor	Auf diesen Beitrag antworten »
Problem bei Darstellungsmatrix aus linearer Abbildung Meine Frage: Hallo Freunde! Zur später Stunde eine Frage zur linearen Algebra 1: ich habe die lineare Abbildung $\begin{eqnarray} L: \mathbb R^{2} \rightarrow \mathbb R^{2}, (x,y)\mapsto(x-y,0) \end{eqnarray}$ nun ist recht offensichtlich, dass die Basis des Zielbereiches nur ein Element hat (somit Dimension = 1). Entsprechend Wikipedia ( http://de.wikipedia.org/wiki/Abbildungsmatrix#Berechnung ) sollte der Zielbereich R² aber zwei Basisvektoren haben, um am Ende eine 2x2-Matrix als Darstellungsmatrix zu berechnen. Entweder wird der Zielbereich also zu R, oder ich brauche einen zweiten Basisvektor? Gibt es eine mathematische Begründung, einen Trick oder irgendwas? -Wenn ich an irgendeinem Punkt bis hierhin schon n Denkfehler habe, bitte ich um Korrektur... Besten Dank, ein verwirrter Student Meine Ideen: Definitionsbereich wäre durch das Vektortupel $\begin{eqnarray} \{ (1,0), (0,1) \} \end{eqnarray}$ gegeben (R²) Zielbereich durch $\begin{eqnarray} \{ (1,0) \} \end{eqnarray}$ Die Darstellungsmatrix hätte ich durch $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \\\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gebildet. Und genau da stehe ich: Bei der Begründung, warum ich eine 2x2-Matrix habe, obwohl meine Basis des Zielbereichs nur ein Element hat...
04.01.2013, 10:57	Jack Prince	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo DerReflektor, der Zielbereich ist bei dieser Abbildung der gesamte $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ , weil in diese Menge abgebildet wird. Du hast richtig erkannt, dass das Bild dieser Abbildung 1-dimensional ist. (Bild ist nicht der Zielbereich). Um eine Abbildungsmatrix von $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ zu erstellen, brauchst du zunächst zwei Basen: Eine vom Definitionsbereich $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ und vom Zielbereich $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ . Wenn wir die beiden kanonischen Basen (auch Standartbasen genannt) $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray}$ auswählen, dann geht man jetzt folgender Maßen vor: 1. Bilde die beiden Basisvektoren des Definitionsbereiches mit $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ ab: $\begin{eqnarray} L \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix}=:v \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} L \begin{pmatrix} 0 \\1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1 \\0 \end{pmatrix} =:w \end{eqnarray}$ . 2. Stelle $\begin{eqnarray} v,w \end{eqnarray}$ als Linearkombination der beiden ausgewählten Basisvektoren des Zielbereiches dar: $\begin{eqnarray} v= \underbrace{1}_{=: \, a_1} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix} + \underbrace{0}_{=: \, a_2} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} w= \underbrace{-1}_{=: \, a_3} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix} + \underbrace{0}_{=: \, a_4} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . 3. Packe die erhaltenen Koeffizienten $\begin{eqnarray} a_i \end{eqnarray}$ spaltenweise in eine Matrix $\begin{eqnarray} A_L \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} A_L:= \begin{pmatrix} a_1 & a_3 \\a_2 & a_4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & -1 \\0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Jetzt hast du die Abbildungsmatrix bezüglich dieser beiden Basen erhalten, für die nun $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gilt.
04.01.2013, 15:56	DerReflektor	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah- also nutze ich die Basis des R², auch wenn nicht auf alles des R² abgebildet wird. Besten Dank! :-)

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