Integralrechnung

04.01.2013, 12:39

bozz

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Integralrechnung

Halloo ich sitze mal wieder vor einer aufgabe und komme nicht weiter hier folgendes Integral

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \! \frac{2x}{1+x^{4} } \, dx \end{eqnarray*}$

Habe mir gedacht ich löse es durch Substitution also das u= 1+x^4 aber irgendwie klappt das nicht bekomm da totalen Müll raus.. laut Taschenrechner ist das Ergebnis arctan(x^2) bzw. pi/2

danke schon einmal für jeden Tipp

04.01.2013, 12:52

Helferlein

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Wenn Du das Ergebnis schon kennst, warum substituierst Du dann nicht einfach mal t=x² ?

04.01.2013, 12:54

komplexer

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Substituiere:
$\begin{eqnarray*} t=x^2 \end{eqnarray*}$

04.01.2013, 13:10

bozz

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hmm also ich sag jetzt das u= x^2 ist

also : $\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \! \frac{1}{1+x^{2} }*2x \, dx \end{eqnarray*}$ oder wie ? und wie resubstituiere ich dann? oder brauch ich das nicht wenn ich die Grenzen mit Substituiere ? also die bleiben dann trotzdem gleich oder ?

04.01.2013, 13:11

Helferlein

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Versteh Deine Frage nicht ganz: Wenn Du u=x² setzt und das neue Integral löst, wird es von u abhängen. Um es wieder durch x darzustellen, nutzt Du doch exakt dieselbe Gleichung.

04.01.2013, 13:21

bozz

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Die Antwort versteh ich gerade irgendwie nicht Hammer

Hammer

Also $\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \! \frac{2x}{1+x^{4} } \, dx \end{eqnarray*}$

jetzt Substitution : u=x^2

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \! \frac{1}{1+u^{2} }*2x \, dx \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \left[arctan(u)* x^{2} \right]_{0}^{\infty } \end{eqnarray*}$ ist das so korrekt?

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04.01.2013, 13:28

Helferlein

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Nein, Du hast nur teilweise substituiert, nicht vollständig.
Wenn Du x durch u ersetzten willst, dann darf kein x mehr vorkommen.

04.01.2013, 13:39

bozz

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genau da ist mein problem wie stell ich denn das 2x durch u da.. wenn u= x^2 ist ?

04.01.2013, 13:46

Helferlein

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Also hast Du nie vorher eine Substitution gemacht? geschockt

geschockt

Das Integral soll komplett auf u umgestellt werden, Du hast aber noch 2x im Integral stehen und integrierst zudem auch noch nach x. Leite hierzu die Substitution auf beiden Seiten ab. Links nach u, rechts nach x. Dann erhältst Du einen Term der Art ... du = ... dx und kannst weitere Teile ersetzen.
Denke aber auch daran, dass wir ein bestimmtes Integral haben und die ursprünglichen Grenzen x-Werte darstellen.

04.01.2013, 13:55

bozz

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Zitat:

Original von Helferlein
Leite hierzu die Substitution auf beiden Seiten ab. Links nach u, rechts nach x. Dann erhältst Du einen Term der Art ... du = ... dx und kannst weitere Teile ersetzen.

Jetzt versteh ich ja garnichts mehr.. substituion ableiten? was für weitere Teile ersetzten?

04.01.2013, 14:06

Helferlein

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Da stellt sich mir jetzt noch einmal die Frage von oben: Hast Du jemals vorher eine Substitution gemacht? Wenn ja, was weisst Du darüber?
Wenn nein: Lies es Dir besser einmal durch, denn alles kann man Dir nicht in diesem Thread erklären.

In Kurzform: Substitution heisst ersetzen einer Variable durch eine andere. Dabei muss aber wirklich alles ersetzt werden, was die Ausgangsvariable beinhaltet, also neben der Variable selber auch das Differential (dx) und die Grenzen, wenn wir ein bestimmtes Integral haben. Das Differential hat mit der Ableitung zu tun, also berechnet man bei der Substitution neben der Funktion u=g(x) auch die Ableitung $\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} \end{eqnarray*}$ .

04.01.2013, 14:19

bozz

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Um die Frage von oben zu beantworten ja ich habe schon Substituiert...
Das mit du/dx und so weiß ich aber irgendwie reden wir an einander vorbei..

Jetzt mal eine ganz normale aufgabe zum Substituieren

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{3}{4x+1} \, dx \end{eqnarray*}$ so da ist u= 4x+1 und du/dx= 4

d.h 1/4 du... so dann setz ich das 1/4 vor das integral zieh die konstante Zahl 3 auch noch vor das Integral und Integriere dann nurnoch 1/u also Ergebnis

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{4} Log (u) \end{eqnarray*}$ resubstitution $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4} Log (4x+1)+C \end{eqnarray*}$

Das ist ja auch kein Problem.. Mein Problem ist es bei der Aufgabe von eben wie ersetzte ich das 2 x durch u wenn u= x^2 ist ?

04.01.2013, 14:20

Helferlein

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Hast Du denn die Ableitung $\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} \end{eqnarray*}$ überhaupt schon ausgerechnet?
Dann würde sich nämlich die Frage gar nicht stellen.

04.01.2013, 14:31

bozz

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aah jetzt versteh ich was du meinst glaub ich Big Laugh

Big Laugh

also u= x^2 ... du/dx= 2x also 1/2x du.. dann zieh ich das 2x in der Aufgabe vor das Integral also steht dann quasi vor dem Integral 2x/2x also 1

im Integral dann nur noch das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+u^{2} } du \end{eqnarray*}$ also arctan (u)
und da u= x^2 also arctan (x^2) und Substitution der Grenzen ist doch nur die alten Grenzen in das u einsetzten aber da ändert sich ja nichts an den Grenzen..

04.01.2013, 15:01

Helferlein

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Bis auf das erwähnte "vor das Integral ziehen" bin ich einverstanden.
Du darfst nichts aus dem Integral herausziehen, was eine Variable enthält. Das ist aber auch gar nicht nötig, denn wegen du=2xdx ersetzt Du einfach den kompletten Term 2x dx durch du.

Die Grenzen ändern sich in dem Fall nicht, weil deine Stammfunktion wieder von x abhängt. Hättest Du auf die Rücksubstitution verzichtet, müsstest Du die Grenzen in u umrechnen, um auf dieselbe Lösung zu kommen.

04.01.2013, 15:07

bozz

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ahh ja ok stimmt .. schwere geburt aber danke ;D

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