Lösbarkeit von LGS

04.01.2013, 14:35	akaari	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösbarkeit von LGS Hi Leute, ich weiß ich sollte eine Aufgabe wie diese hier selbst lösen können aber... Die Aufgabe: Berechnen Sie die Det. von A und bestimmen Sie in Abh. von alpha und beta (Element R) alle Lösungen des LGS Ax=B wobei: $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} a & 2 & 3 & -1 \\ 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ -2 & -3 & -2 & -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b=\begin{pmatrix} \beta \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Also habe ich zuerst die Det(A) berechnet, es ergibt sich alpha als Lösung, also gibt es für alpha=0 keine Lösung. Wenn ich jetzt die Matrix Umforme damit sich alles vereinfacht kommt folgende Matrix heraus: (öfters nachgerechnet, ich weiß nicht wo ich mich verrechnet haben kann) $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} a & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und die Umformungen an b durchgeführt: $\begin{eqnarray} b=\begin{pmatrix} \beta-5 \\ 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wenn ich jetzt das GLS aufstelle und lösen will ergibt sich $\begin{eqnarray} x_1=\frac{\beta -5}{a} & a\neq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2=1-t-\frac{\beta -5}{3a} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_3=t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_4=t-1 \end{eqnarray}$ Hier ist nur a=0 ausgeschlossen, für beta musste ich nirgends Regeln aufstellen also nehme ich an ich kann es beliebig aus den reellen Zahlen wählen. Das Problem ist jetzt, dass ich, wenn ich die Probe anhand eines Beispiels machen will, immer falsche Ergebnisse bekomme. Was mache ich also falsch? Wo liegt mein Denkfehler? Oder ein Rechenfehler? DIe Probe mache ich indem ich z.B. beta=10 alpha=5 t=1 wähle, womit sich x2=-1/3 und x3=1 und x4=0 ergibt Hoffe es nimmt sich jemand die Zeit mir zu helfen
04.01.2013, 17:15	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Das die Lösung nicht stimmen kann, siehst Du bereits daran, dass $\begin{eqnarray} x_2+x_3\neq2 \end{eqnarray}$ Ohne Deine Rechnung zu kennen, wird Dir aber auch niemand sagen können, wo Du Dich vertan hast. $\begin{eqnarray} \alpha=0 \end{eqnarray}$ als Ausnahmefall ist aber schon mal korrekt. Die Behauptung es gäbe für $\begin{eqnarray} \alpha\neq0 \end{eqnarray}$ keine Lösung hingegen falsch. Es kann entweder keine oder unendlich viele Lösungen geben, je nachdem, wie $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ gewählt wird.
05.01.2013, 11:52	akaari	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort! Warum muss ich das für a=0 nocheinmal durchrechnen? Wenn die Determinante der Matrix Null ist muss doch annehmen das LGS hat keine Lösung?
05.01.2013, 11:57	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum? Die Gleichung x=0 besitzt im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ doch auch eine Lösung, obwohl $\begin{eqnarray} det\left(\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&0 \end{pmatrix}\right)=0 \end{eqnarray}$
05.01.2013, 13:14	akaari	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh okay :-) Ich les mir das nochmal durch, ich hatte das irgendwie so gespeichert dass so ein LGS dann keine Lösung hat. Danke nochmal

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