Alle Untervektorräume bestimmen

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04.01.2013, 16:57	Lamiah	Auf diesen Beitrag antworten »
Alle Untervektorräume bestimmen Zu einer festen Permutation $\begin{eqnarray} \sigma \in S_n \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} f_{\sigma} \end{eqnarray}$ derjenige Vektorraumendomorphismus des R^n, der gegeben ist durch $\begin{eqnarray} f_{\sigma} (e_i)=e_{\sigma (i)}, i =1, ..., n \end{eqnarray}$ . Ferner seien Unterräume U und V des R^n definiert durch . $\begin{eqnarray} U:=\{(x_1, ..., x_n)\| x_1 + ... + x_n = 0\}, V:= \{(x_1, ..., x_n)\| x_1 =... = x_n \} \end{eqnarray}$ Aufgabe: Bestimmen Sie alle Untervektorräume $\begin{eqnarray} W \subset \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ für die gilt: Für alle $\begin{eqnarray} \sigma \in S_n: f_{\sigma}(W) \subset W \end{eqnarray}$ . Für den Nullvektorraum und den R^n selbst ist die Aussage trivial. Für U,V habe ich die Gültigkeit der Aussage schon in einer Teilaufgabe gezeigt. Ich habe nun die Vermutung, dass es keine weiteren Untervektorräume gibt, die die Aussage erfüllen. Falls das stimmt, würde sich ein Beweis durch Widerspruch anbieten. Allerdings finde ich keinen Ansatz. Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
04.01.2013, 18:26	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis durch Widerspruch muss schon im $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ gelingen. Zusätzlich wäre zu überlegen wie man vom $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ auf den $\begin{eqnarray} \mathbb R^{n+1} \end{eqnarray}$ schliessen kann.
06.01.2013, 01:45	Lamiah	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay. Mir fällt aber auch für den R^2 immer noch kein Ansatz ein.
06.01.2013, 11:27	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Untervektorräume im $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ sind $\begin{eqnarray} \{0\}, \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ und alle Geraden durch den Nullpunkt. Hier ist $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ die erste Winkelhalbierende $\begin{eqnarray} y=x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ die zweite Winkelhalbierende $\begin{eqnarray} y=-x \end{eqnarray}$ . Für jede andere Gerade durch den Nullpunkt gilt $\begin{eqnarray} y=ax, a\notin \{1,-1\} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ . Überlege, was $\begin{eqnarray} S_2 \end{eqnarray}$ damit macht, und du bist fertig (für den $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ ) Zusatzüberlegung: "Was für $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ nicht gilt, gilt nicht für $\begin{eqnarray} \mathbb R^n, n\ge 2 \end{eqnarray}$ ." (Das überzeugt mich selbst nicht, vielleicht gibt es im $\begin{eqnarray} \mathbb R^{256} \end{eqnarray}$ doch noch einen "passenden" Untervektorraum. )
07.01.2013, 20:02	Lamiah	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist $\begin{eqnarray} S_2 \end{eqnarray}$ ?
08.01.2013, 18:03	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Frage soll vermutlich ein Scherz sein oder ... ? Was $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ ist, steht doch in deiner Aufgabe. $\begin{eqnarray} S_2=S_n,n=2 \end{eqnarray}$ permutiert die Basisvektoren $\begin{eqnarray} \{x,y\}=\{e_1,e_2\} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} S_2=\{(1),(12)\} \end{eqnarray}$ ist die symmetrische Gruppe der Ordung 2!=2. Die Identität $\begin{eqnarray} (1) \end{eqnarray}$ vertauscht nichts, die Transposition $\begin{eqnarray} (12) \end{eqnarray}$ vertauscht 1 und 2, $\begin{eqnarray} f_{(12)} \end{eqnarray}$ vertauscht $\begin{eqnarray} e_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} e_2 \end{eqnarray}$ , vertauscht also $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ .
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08.01.2013, 19:20	Lamiah	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, tschuldigung.
08.01.2013, 19:39	Lamiah	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab S_n überlesen. Hast Du eine Idee, wie man den Schritt zum R^n machen kann?
09.01.2013, 18:16	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ideen habe ich immer ... ich schließe aus dem, was wir oben über $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ gelernt haben (Details musst du noch ausführen): (a) $\begin{eqnarray} (\forall w\in W : w=x_1e_1+...+x_ne_n, o.B.d.A. x_1 \ne 0 , x_2=0 \Rightarrow e_1 \in W, f_{(12)}(e_1)=e_2 \notin W) \Rightarrow \forall i=1,...,n \exists w\in W : x_i e_i \ne 0, x_i \ne 0 \end{eqnarray}$ (b) o.B.d.A. $\begin{eqnarray} x_2=ax_1, a \notin \{0,1,-1\}\Rightarrow span(e_1,e_2)\subset W \Rightarrow span(e_1,e_2,e_3)\subset W \Rightarrow ... \Rightarrow span(e_1,e_2, ... , e_n)=\mathbb R^n \subset W \end{eqnarray}$

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