Wurfparabel höchster Punkt

04.01.2013, 16:59

Dogatos

Wurfparabel höchster Punkt

ich würde gerne den höchsten Punkt eines Wurfes berechnen und hab gelesen er liegt in der hälfte. Aber stimmt das auch, wenn man von einer Anfangshöhe aus wirft? Oder nur wenn man von einem 0 Punkt aus wirft?

Sonst wärs ja der Weg in der x Achse/2 und damit die y Achse ausrechnen, aber iwie schaut das falsch aus. Könnte mir jemand eine Formel geben, wen meine vermutung richtig ist?

04.01.2013, 17:14

sulo

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RE: Wurfparabel höchster Punkt
Nun, der x-Wert des höchsten Punktes einer Wurfparabel liegt in der Tat mittig zwischen den Nullstellen.

Wenn deine Wurfhöhe bei 0 liegt (ist eher ungewöhnlich), dann brauchst du tatsächlich nur die x-Koordinate des Aufpralls zu halbieren. Wenn deine Wurfhöhe nicht bei 0 liegt, kannst du die Beträge der x-Koordinaten addieren und die Summe halbieren.

Ansonsten kannst du den höchsten Punkt bestimmen, indem du die Scheitelpunktform der Parabelgleichung bildest. (Ich nehme an, du kennst noch keine Ableitungen).
Dieser Weg ist vermutlich der vorgesehene.

smile

04.01.2013, 17:25

10001000Nick1

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Der höchste Punkt liegt nur in der Mitte, wenn Anfangs- und Endhöhe übereinstimmen, also wenn du keine Anfangshöhe hast.
Allgemein kannst du erstmal die Gleichung der Parabel bestimmen. Dazu brauchst du die einzelnen Bewegungen in x- und y-Richtung. In x-Richtung ist das eine gleichförmige Bewegung: $\begin{eqnarray*} x(t)=v_{0,x}*t+x_0. \end{eqnarray*}$ Die Formel stellst du nach t um: $\begin{eqnarray*} t=\frac{x-x_0}{v_{0,x}} \end{eqnarray*}$ . In y-Richtung hast du eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung: $\begin{eqnarray*} y(t)=- \frac{g}{2} t^2+ v_{0,y}\cdot t+h_0. \end{eqnarray*}$ Da setzt du die erste Formel für t ein und erhältst: $\begin{eqnarray*} y=- \frac{g}{2} (v_{0,x}*t+x_0)^2+ v_{0,y}\cdot (v_{0,x}*t+x_0)+h_0. \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_{0,x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_{0,y} \end{eqnarray*}$ sind dabei die Anfangsgeschwindigkeiten in x- bzw. y-Richtung. Die kriegst du raus mit der Anfangsgeschwindigkeit der überlagerten Bewegung $\begin{eqnarray*} v_0 \end{eqnarray*}$ und dem Abwurfwinkel.
Wenn du dann die fertige Gleichung hast, musst du das Maximum berechnen. Das ist dann der höchste Punkt.

04.01.2013, 17:58

Dogatos

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Information am Rande, ich habe schon für alles eine Formel, nur für den höchsten Punkt noch nicht. smile

x = xv * time
y = -(g / 2) * time^2 + yv * time + Anfangshöhe

Aber wie kann ich den Maximalen wert von y herausfinden?

04.01.2013, 18:10

Terry Lyndon

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Du hast im Zurzeit die x- und die y-Koordinate jeweils einzelnd parametrisiert durch t, dh. x(t) und y(t). Versuche die y-Koordinate durch x auszudrücken - unabhängig von t, sodass du eine Funktion y(x) (oder auch f(x)) bekommst und dann denkst du nochmal scharf nach wie du den maximalen Wert ermitteln kannst Augenzwinkern

04.01.2013, 18:15

10001000Nick1

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Hattet ihr schon Ableitungen? Welche Klasse bist du?

04.01.2013, 18:27

Dogatos

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Okey, danke für den Tipp Terry Lyndon.

10001000Nick1, ich hatte noch nicht mal die Wurfparabel in der Schule, ich mach's freiwillig. Ich bin in der 9. Klasse.

04.01.2013, 19:06

Dopap

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im vorigen Thread hatten wir schon:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \vec v(t)= \binom {2 \cos(50°)}{2 \sin(50°)-9.81\cdot t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec s(t)=\binom {2 \cos(50°)\cdot t}{1+2 \sin(50°)\cdot t -4.905 \cdot t^2} \end{eqnarray*}$

Das sind ausgeschrieben 4 Funktionen. Damit lässt sich jede Frage beantworten.

$\begin{eqnarray*} 2 ~\text{stand für} ~ v_0 , ~ \text{und} , ~ 1 ~\text{für}~ h ~ \text{und}~ 50° ~ \text{für den Abwurfwinkel} \end{eqnarray*}$

Die Bedingung für den höchsten Punkt ist der, dass die Vertikalgeschwindigkeit Null ist.

Daraus folgt die Scheitelzeit $\begin{eqnarray*} t_S \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} 2 \sin(50°)-9.81\cdot t =0 \Rightarrow t_S= \frac {...}{...} \end{eqnarray*}$

Für den Scheitel setzt du diese Zeit in $\begin{eqnarray*} \vec s(t) \end{eqnarray*}$ ein:

$\begin{eqnarray*} \vec s_S(t_S)= ... \end{eqnarray*}$

alles ohne Ableitung oder quadratischer Ergänzung zwecks Scheitelpunktsform.

04.01.2013, 22:28

Dogatos

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Ich dachte ts entsteht wenn x 0 ist, also wenn es aufprallt, wieso sollte es beim höchsten Punkt sein? O.o

Und wenn ich das t in s(t) einsetze bekomm ich doch den Weg in der x Achse?

Oder falls ich es jetzt richtig verstanden habe, muss ich nochmal die zeit ausrechnen, bis y 0 ist, also bis der höchste Punkt erreicht ist und dann den Weg?

04.01.2013, 23:10

Dopap

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Zitat:

Original von Dogatos
Ich dachte ts entsteht wenn x 0 ist, also wenn es aufprallt, wieso sollte es beim höchsten Punkt sein? O.o

nein, das war $\begin{eqnarray*} t_W \end{eqnarray*}$ = Wurfdauer

Zitat:

Und wenn ich das t in s(t) einsetze bekomm ich doch den Weg in der x Achse?

$\begin{eqnarray*} \vec s(t) \end{eqnarray*}$ hat 2 Komponenten:

$\begin{eqnarray*} x(t_S) \end{eqnarray*}$ ist der x-Wert des Scheitels (horizontal), $\begin{eqnarray*} y(t_S) \end{eqnarray*}$ ist der vertikale Scheitelwert

also: Scheitel = $\begin{eqnarray*} S(x(t_S)|y(t_S)) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Oder falls ich es jetzt richtig verstanden habe, muss ich nochmal die zeit ausrechnen, bis y 0 ist, also bis der höchste Punkt erreicht ist und dann den Weg?

nein, ... bis die vertikale Geschwindigkeitskomponente $\begin{eqnarray*} v_y(t)=0 \end{eqnarray*}$ ist. Und die Zeit nannten wir $\begin{eqnarray*} t_S \end{eqnarray*}$

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