Bijektion von [0,1] nach [0,1]^n mit Hilfe von Julius König

04.01.2013, 17:14	Leitxyz	Auf diesen Beitrag antworten »
Bijektion von [0,1] nach [0,1]^n mit Hilfe von Julius König Meine Frage: Ich suche eine Bijektion von [0,1] nach [0,1]^n die ich mit Hilfe des Tricks von Julius König angeben will. Meine Ideen: Das es eine Bijektion gibt ist bekannt. Ich habe nun versucht diese auch wirklich anzugeben. Dabei bin ich über den Trick von Julius König gestolpert. Ich nehme also erstmal das nur das Intervall (0,1) und teile meine Zahl x=0.0130053... in Blöcke bis zur nächsten Zahl $\begin{eqnarray} \neq 0 \end{eqnarray}$ auf also 0. 01 3 005 3... auf. Die Abbildung f bildet nun x auf $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0.x_1 x_3 x_5... \\ 0.x_2x_4x_6... \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ab, wobei $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ ein Block von x beschreibt. Ist diese Abbildung nun bijektiv? Die Injektivität folgt meiner meinung nach draus, dass die Darstellung von x durch die Blöcke eindeutig ist und somit ich jedem (x,y) genau ein z aus (0,1) zuordnen kann. Aber wieso ist diese Abbildung surjektiv? Meine Idee war das ich ja das Zahlenpaar (x,y) zerlegen kann ich $\begin{eqnarray} (0.x_1x_2x_3,0.y_1y_2y_3) \end{eqnarray}$ und dann $\begin{eqnarray} f(0.x_1y_1x_2y_2...) \end{eqnarray}$ betrachte. Aber was mach ich wenn mein x aus nur einem block besteht? wie zb. treffe ich den Punkt $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0.1\\ 0.5555 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$

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