multiplikative zahlentheoretische Funktionen bilden eine abelsche Gruppe

04.01.2013, 18:23

Monoid

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multiplikative zahlentheoretische Funktionen bilden eine abelsche Gruppe

Hi,

Ich möchte zeigen, dass die multiplikativen zahlentheoretischen Funktionen eine abelsche Gruppe bezüglich der Faltung bilden (ZF).
Zuerst habe ich gezeigt, dass die Faltung eine innere Verknüpfung über der Menge der ZF ist.
Das es ein neutrales Element gibt, ist klar, das habe ich bereits gezeigt.
Nur, dass es ein inverses gibt, und warum die Assoziativität vorhanden ist bleibt mir ideenlos ein Rätsel.

Könntet ihr mir helfen?
Danke im Vorraus! smile

smile

Edit: Sorry, bin weg! Wink

Wink

05.01.2013, 11:11

Monoid

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RE: multiplikative zahlentheoretische Funktionen bilden eine abelsche Gruppe
Naja, dann schreibe ich mal mal meinen Lösungsweg\ansatz:

Zuerst zeige ich, dass die Faltung eine innere Verknüpfung über ZF bildet.
Seien also f,g zwei multiplikative zahlentheoretische Funktionen $\begin{eqnarray*} \Rightarrow f * g : \mathbb N \to \mathbb C ; n | \to \sum\limits_{d | n} f(d) g(\frac{n}{d}) := m(n) \end{eqnarray*}$ . Nun ist zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f *g \end{eqnarray*}$ ein Element von ZF ist.
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{d | n \cdot m} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f(d) g(\frac{n}{d} \cdot \frac{m}{d}) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{d_{1} | n} \sum\limits_{d_{2} | n} f(d_{1}) f(d_{2})g(\frac{n}{d}) g(\frac{m}{d}) =m(n)=\left( \sum\limits_{d | n} f(d) g(\frac{n}{d})\right) \cdot \left( \sum\limits_{d | m } f(d) g(\frac{m}{d})\right)<br /> = f(n) * g(m) \end{eqnarray*}$
Offentsichtlich ist m(1)=1.
Das war zu zeigen.

Das neutrale Element ist $\begin{eqnarray*} \epsilon(n) \end{eqnarray*}$ . Denn es gibt 2 Fälle die man betrachten muss:
1. Fall: $\begin{eqnarray*} n \text{ ungleich 1} \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} (f * \epsilon)(n) = \sum\limits_{ d | n } f(d) \epsilon(\underbrace{d}_{ \text{ ungleich 1 }}) = 0 \end{eqnarray*}$

2. Fall: $\begin{eqnarray*} n = 1 \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} ( f * \epsilon )(n)= f(1) \epsilon(1)=1 \end{eqnarray*}$

Zur Existenz des Inversen wollen mir Aber leider keine guten Ideen kommen.
Ebenso bei der Assoziativität. unglücklich

unglücklich

06.01.2013, 15:37

Monoid

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RE: multiplikative zahlentheoretische Funktionen bilden eine abelsche Gruppe
Ist das bisher überhaupt richtig?

06.01.2013, 15:49

Mystic

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RE: multiplikative zahlentheoretische Funktionen bilden eine abelsche Gruppe

Zitat:

Original von Monoid
Ist das bisher überhaupt richtig?

Gute Frage... Ich würde sagen nein, denn was die 0 bei der Faltung verloren? verwirrt

verwirrt

06.01.2013, 15:55

Monoid

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RE: multiplikative zahlentheoretische Funktionen bilden eine abelsche Gruppe
Ich verstehe deine Frage nicht. Die Null spielt eine Rolle bei der Definition von $\begin{eqnarray*} \epsilon(n) \end{eqnarray*}$ . verwirrt

verwirrt

06.01.2013, 16:11

Mystic

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RE: multiplikative zahlentheoretische Funktionen bilden eine abelsche Gruppe

Zitat:

Original von Monoid
Ich verstehe deine Frage nicht. Die Null spielt eine Rolle bei der Definition von $\begin{eqnarray*} \epsilon(n) \end{eqnarray*}$ . verwirrt

verwirrt

Das ist es, was ich nicht verstehe:

Zitat:

Original von Monoid

Das neutrale Element ist $\begin{eqnarray*} \epsilon(n) \end{eqnarray*}$ . Denn es gibt 2 Fälle die man betrachten muss:
1. Fall: $\begin{eqnarray*} n \text{ ungleich 1} \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} (f * \epsilon)(n) = \sum\limits_{n \in \mathbb N_{> 0}} f(0) \epsilon(0) = 0 \end{eqnarray*}$

Hier taucht die 0 als Argument von f und $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ auf, obwohl es da verboten ist...

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06.01.2013, 16:46

Monoid

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RE: multiplikative zahlentheoretische Funktionen bilden eine abelsche Gruppe
Achso. Das Argument von f ist irgend eine andere Zahl. Dann ist das Ergebnis trotzdem 0.

Ich hab's oben korrigiert. Stimmt's jetzt?

06.01.2013, 16:59

Mystic

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RE: multiplikative zahlentheoretische Funktionen bilden eine abelsche Gruppe
Nein, dennes komt ja noch immer $\begin{eqnarray*} \epsilon(0) \end{eqnarray*}$ vor... geschockt

geschockt

Außerdem mal ne ganz dumme Frage: Sollte $\begin{eqnarray*} f*\epsilon \end{eqnarray*}$ nicht f ergeben, damit $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ als Einselement angesprochen werden kann?... verwirrt

verwirrt

06.01.2013, 18:23

Monoid

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RE: multiplikative zahlentheoretische Funktionen bilden eine abelsche Gruppe
Naja, $\begin{eqnarray*} \epsilon(n):={^{ 0 \text{ falls n ungleich 1 }}_{1 \text{ falls } n=1}} \end{eqnarray*}$ .
Und das sollte eigentlich das neutrale Element sein. verwirrt

verwirrt

06.01.2013, 19:20

Monoid

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RE: multiplikative zahlentheoretische Funktionen bilden eine abelsche Gruppe
Dann habe ich $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{d | n} f(d) \end{eqnarray*}$ . Aber wrum sollte das f(n) sein? verwirrt

verwirrt

06.01.2013, 20:15

Mystic

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RE: multiplikative zahlentheoretische Funktionen bilden eine abelsche Gruppe
$\begin{eqnarray*} (f*\epsilon)(n)= \underbrace{\epsilon(1)}_{=1}f(n)+\sum_{d|n,d>1}\underbrace{\epsilon(d)}_{=0}f(n/d)=f(n) \quad \forall n \in \mathbb{N}^* \end{eqnarray*}$
oder etwa nicht?

07.01.2013, 05:56

Monoid

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RE: multiplikative zahlentheoretische Funktionen bilden eine abelsche Gruppe
Ja, stimmt! Vielen Dank! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber die Existenz des Inversen und die Assoziativität?

07.01.2013, 08:37

Mystic

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RE: multiplikative zahlentheoretische Funktionen bilden eine abelsche Gruppe
Für die Existenz von Inversen braucht man in der Definition einer multiplikativen Funktion eine der folgenden zwei Voraussetzungen:

1. f(1)=1
2. $\begin{eqnarray*} \exists n \in \mathbb N^* : f(n) \ne 0 \end{eqnarray*}$

Welche habt ihr? Falls 2., wie folgt daraus 1. ?

07.01.2013, 16:59

Monoid

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RE: multiplikative zahlentheoretische Funktionen bilden eine abelsche Gruppe
Wir haben 1. Daraus folgt offensichtlich 2.

07.01.2013, 22:06

Mystic

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RE: multiplikative zahlentheoretische Funktionen bilden eine abelsche Gruppe
Gut, dann brauchst du nur Gleichung

$\begin{eqnarray*} f*g =\epsilon \end{eqnarray*}$

auswerten, welche für das Inverse g von f gelten muss, einmal für n=1 und einmal für n>1 um auf eine Rekusionsbeziehung für die inverse Funktion g zu kommen... Wie sieht diese denn aus?

08.01.2013, 06:29

Monoid

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RE: multiplikative zahlentheoretische Funktionen bilden eine abelsche Gruppe
Der Fall n=1 ist klar.
Der Fall n ungleich 1:
$\begin{eqnarray*} (f * g)(n) := \sum\limits_{d | n} f(n) g(\frac{n}{d}) = 0 = \epsilon(n) \end{eqnarray*}$
Ist $\begin{eqnarray*} g(n)={^{1 \text{ falls } n=1 }_{0 \text{ falls } n \text{ ungleich } 0}} \end{eqnarray*}$

edit von sulo: es heißt nicht "\epsioln" sondern "\epsilon". Korrigiert und so als Latex-Formel darstellbar gemacht.

08.01.2013, 08:43

Mystic

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RE: multiplikative zahlentheoretische Funktionen bilden eine abelsche Gruppe

Zitat:

Original von Monoid
Der Fall n ungleich 1:
$\begin{eqnarray*} (f * g)(n) := \sum\limits_{d | n} f(n) g(\frac{n}{d}) = 0 = \epsilon(n) \end{eqnarray*}$
Ist $\begin{eqnarray*} g(n)={^{1 \text{ falls } n=1 }_{0 \text{ falls } n \text{ ungleich } 0}} \end{eqnarray*}$

Hm, wäre dann nicht $\begin{eqnarray*} g=\epsilon \end{eqnarray*}$ ? Und haben wir nicht oben schon festgestellt, dass gilt

$\begin{eqnarray*} f*\epsilon =f \end{eqnarray*}$

d.h., es kommt bei f*g i.allg. nicht heraus, was rauskommen sollte, nämlich $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ... unglücklich

unglücklich

08.01.2013, 09:10

RavenOnJ

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RE: multiplikative zahlentheoretische Funktionen bilden eine abelsche Gruppe
Wie soll da eigentlich jemand durchsteigen, wenn du dermaßen unsauber deine Gleichungen aufschreibst? Ein Beispiel:

Zitat:

Original von Monoid
Zuerst zeige ich, dass die Faltung eine innere Verknüpfung über ZF bildet.
Seien also f,g zwei multiplikative zahlentheoretische Funktionen $\begin{eqnarray*} \Rightarrow f * g : \mathbb N \to \mathbb C ; n | \to \sum\limits_{d | n} f(d) g(\frac{n}{d}) := m(n) \end{eqnarray*}$ .

Da du $\begin{align*} m \end{align*}$ gleich nochmal benutzt, solltest du das Ergebnis hier anders nennen, z.B. $\begin{align*} h(n) \end{align*}$ :

$\begin{eqnarray*} f * g : \mathbb N \to \mathbb C ; n \to \sum\limits_{d | n} f(d) g(\frac{n}{d}) := h(n) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Nun ist zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f *g \end{eqnarray*}$ ein Element von ZF ist.
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{d | n \cdot m} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f(d) g(\frac{n}{d} \cdot \frac{m}{d}) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{d_{1} | n} \sum\limits_{d_{2} | n} f(d_{1}) f(d_{2})g(\frac{n}{d}) g(\frac{m}{d}) =m(n)=\left( \sum\limits_{d | n} f(d) g(\frac{n}{d})\right) \cdot \left( \sum\limits_{d | m } f(d) g(\frac{m}{d})\right)<br /> = f(n) * g(m) \end{eqnarray*}$

Wenn man das so liest, ist es teilweise totaler Quatsch.

Stattdessen:
$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}\begin{align*}h(mn) &= \sum\limits_{d | n m}f(d) g(\frac{nm}{d})<br /> &=\sum\limits_{d_{1} | n} \sum\limits_{d_{2} | m} f(d_{1}) f(d_{2})g(\frac{n}{d_1}) g(\frac{m}{d_2}) <br /> &=\left( \sum\limits_{d_1 | n} f(d_1) g(\frac{n}{d_1})\right) \cdot \left( \sum\limits_{d_2 | m } f(d_2) g(\frac{m}{d_2})\right)<br /> &= h(n) h(m)\end{align*}\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$

Erkennst du den Unterschied und was sauberer Aufschrieb ausmachen kann? Ich denke, du steigst oft bei deinen eigenen Sachen nicht durch wegen Schludrigkeit.

09.01.2013, 17:14

Monoid

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RE: multiplikative zahlentheoretische Funktionen bilden eine abelsche Gruppe
Ja, den Unterschied erkenne ich.

Aber bei der Existenz des Inversen komme ich nicht richtig weiter. Jedenfalls muss man nur den Fall überprüfen, in dem n ungleich 1 ist. Denn wenn n=1 ist, ist die Gleichung für jedes g erfüllt. Beim 2. Fall muss das Ergebnis 0 sein.... aber das hilft mir nicht wirklich weiter.

09.01.2013, 20:51

RavenOnJ

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Betrachte erst mal n prim, dies ist einfach, dann n Potenz einer Primzahl. Taste dich so an die allgemeine Lösung heran.

10.01.2013, 15:35

Monoid

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Meinst du mit prim das "normale" (algebraische) oder eine Primzahl?

10.01.2013, 15:40

RavenOnJ

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n soll eine Primzahl sein.

10.01.2013, 16:40

Monoid

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Der Fall bei dem n eine Primzahl ist, ist ja klar, den schreibe jetzt nicht auf.
Aber der Fall in dem n eine Primzahlpotenz schaffe ich nicht:
Sei $\begin{eqnarray*} p \in \mathbb P ; d \in \mathbb N \Rightarrow (f * g)(n)=\sum\limits_{d | p^{b}} f(d) g(\frac{p^{b}}{d})=\sum\limits_{i \in \{p^{c} | c \in \mathbb N_{0} ; c \leq b \} } f(i) g(\frac{p^{b}}{i} )=\sum\limits_{i \in \mathbb N_{\leq b}} f(p^{i}) g( p^{b-i})=0 \end{eqnarray*}$

Weiter komme ich nicht. unglücklich

unglücklich

15.01.2013, 08:29

RavenOnJ

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Das könnte man jetzt iterativ lösen für $\begin{align*} b=1,2,\cdots \end{align*}$ , über die $\begin{align*} f(p^b) \end{align*}$ ist ja nichts bekannt. Zu zeigen ist aber vor allem, dass $\begin{align*} g = f^{-1} \end{align*}$ eine multiplikative zahlentheoretische Funktion ist.

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