Potenzreihe und Konvergenzradius

05.01.2013, 01:55	Integraluss	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzreihe und Konvergenzradius Hallo, ich hab hier eine Potenzreihe vor mir und davon muss ich den Konvergenzradius berechnen: $\begin{eqnarray} x-\frac{x^2}{1}+\frac{^3}{3}-\frac{x^4}{4}.... \end{eqnarray}$ --> $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1} }{n}x^{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{a \to \infty} \| \frac{a_{n} }{a_{n+1} }\| = \lim_{n \to \infty} \| \frac{\frac{(-1)^{n+1}}{n}}{\frac{(-1)^{n+2} }{n+1}}\| \end{eqnarray*}$ So... und hier stehe ich kann, kann mir bitte wer erklären wie es hier weiter geht? würde ich jetzt für n unendlich einsetzen dann würde unendlich durch unendlich rauskommen, aber das will man ja nicht oder? Es dürfte beim limes auch 0/0 nicht vorkommen? Danke im voraus! mfg Integraluss
05.01.2013, 02:04	Monarius	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzreihe und Konvergenzradius Naja, du würdest doch für $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} \end{eqnarray}$ auch erstmal vereinfachen und nicht einfach sagen, dass 0/0 rauskommt. Also schauen wir uns den Grenzwert doch mal genauer an: $\begin{eqnarray} \lim_{a \to \infty} \| \frac{a_{n} }{a_{n+1} }\| = \lim_{n \to \infty} \left\| \frac{\frac{(-1)^{n+1}}{n}}{\frac{(-1)^{n+2} }{n+1}}\right\| = \lim_{n\to\infty}\left\| \frac{(-1)^{n+1}}{n}\cdot \frac{n+1}{(-1)^{n+2}}\right\| \end{eqnarray}$ Kannst du den Grenzwert berechnen?
05.01.2013, 02:15	Integraluss	Auf diesen Beitrag antworten »
Arrghh, sorry, doppelbruch hab ich auch schon vereinfacht nur vergessen hinzuschreiben^^. Naja das wäre jetzt unendlich/unendlich * unendlich/unendlich? Aber man darf ja sowas nicht haben unendlich/unendlich oder? Nächste Frage: Warum darf das net sein? Und was macht man wenn diese auftreten? Nebenfrage: Und warum darf auch nicht 0/0 sein? Wegen division durch Null, aber dadurch das ein Nuller oben steht ist dann auch egal oder? edit: Naja es sieht nach kürzen aus, aber dann bleibt: $\begin{eqnarray} -\frac{n+1}{n} = -\frac{n}{n}+\frac{1}{n} = -1 \end{eqnarray}$ --> das negative vorzeichen, weil ja ein -1 unten bleibt, oder? ABER: Laut Lösung kommt 1 raus und nicht -1. Was ist da an meiner Überlegung falsch. PS: Die Fragen ganz oben bitte auch beantworten, also diese Sonderfälle 0/0 und Unendlich/unendlich.
05.01.2013, 02:27	Monarius	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, 0/0 oder unendlich/unendlich sagt so ziemlich genau nichts aus: $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}\frac{n}{n^2} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^2} = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}\frac{2n^2}{n^2} = 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}\frac{n^3}{n^2} \end{eqnarray}$ existiert nicht. Das könnte also alles sein. Ähnlich ist es bei $\begin{eqnarray} \infty - \infty, \frac{0}{0}, 0\cdot\infty \end{eqnarray}$ . Solche Ausdrücke meidet man (nicht nur) deswegen. Meide solche Ausdrücke also! Grenzwerte werden nicht einfach durch einsetzen von $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ berechnet, Man vereinfacht in der Regel und versucht die Grenzwerte auf bekannte Grenzwerte zurückzuführen. So, hast du ja jetzt auch gemacht Du hast den Betrag vergessen, damit kommt man dann auf 1
05.01.2013, 02:31	Integraluss	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau bitte noch schnell in meinen edit ^^. Weil bei mir kommt -1 raus.
05.01.2013, 02:34	Monarius	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast während deinen Berechnungen den Betrag weggelassen, der ist aber wichtig, damit so etwas nicht passiert. Wenn du von -1 den Betrag nimmst, dann stimmt es
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05.01.2013, 02:36	Integraluss	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach, da merkt man dass es schon spät ist^^. Hab die ganze zeit bei dir gelesen "Du hast den "Beitrag" vergessen" Danke dir!
05.01.2013, 02:39	Monarius	Auf diesen Beitrag antworten »
Immer gerne

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