Vektorraum Begriffe - Seite 2

06.01.2013, 10:26

lgrizu

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So, noch einmal zur Übersicht die Aufgabe mit bisherigem Lösungsansatz:

gegeben ist die erweiterte Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a&1&1&|a^2\\1&a&1&|a\\1&1&a&|a\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von DannyDre
Ich hasse so LGS mit Paramtern unglücklich

unglücklich

Das ist gegeben (Das 1.)
Ich habs etwas umgestellt und das schonmal rausgefunden:
Wahrscheinlich gibts noch mehr oder?

unendlich viele Lösungen: $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$
keine Lösung: $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$
eine Lösung: $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R / \left\{ 0; 1\right\} \end{eqnarray*}$

Nun die Frage:

Wie kommst du auf deine Lösung?

Welche Zeilenumformungen hast du gemacht?

06.01.2013, 10:45

DannyDre

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Das habe ich gemacht:

Stimmen meine Lösungen? Kommt mir bisschen wenig vor Big Laugh

Big Laugh

06.01.2013, 10:55

lgrizu

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Zeilenstufenform ist das noch nicht.....

Bringe die Matrix einmal auf Zeilenstufenform.

Deine Argumentation, warum es für a=0 keine Lösung geben soll kann ich nicht nachvollziehe, wenn du durch a dividierst ist der Fall a=0 seperat zu betrachten, denn durch 0 darfst du nicht dividieren, das ist klar.

Du kannst ja vielleicht am Anfang einmal den Fall a=0 betrachten, welche Lösung erhälst du?

06.01.2013, 11:06

DannyDre

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für a=0 gibts unendlich viele Lösungen, weil man die 3 Gleichungen erhält:

$\begin{eqnarray*} x_{2} + x_{3} = 0 .......... x_{1} + x_{3} = 0 .......... x_{1} + x_{2} = 0 \end{eqnarray*}$

und ich versuch mal die Stufenform Big Laugh

Big Laugh

Kann man das überhaupt auf die Stufenform bringen?
Weil um in der Diagonale 1er zu haben muss man ja durch a teilen......
Und ganz unten links steht ja 0. Und das kann ich ja nicht durch Vielfaches oder Teiler zu 1 oder a machen unglücklich

unglücklich

06.01.2013, 11:16

lgrizu

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Okay, für a=0 erhalten wir die erweiterte Matrix:

$\begin{eqnarray*} M=\begin{pmatrix}0&1&1&|0\\1&0&1&|0\\1&1&0&|0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Diese LGS besitzt aber nicht unendlich viele Lösungen, auch hier verstehe ich deine Argumentation nicht.

Die Zeilenvektoren sind linear unabhängig, also ist die durch M gegebene Abbildung bijektiv, der Kern von A enthält also nur welchen Vektor?

Alternativ: Bringe auch diese Matrix auf Zeilenstufenform.

Ich schlage vor, wir widmen uns erst mal dem Spazialfall a=0, um den rest kümmern wir uns später....

06.01.2013, 11:20

DannyDre

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okay

Big Laugh

Hab dein M ausgerechnet und hab raus:

$\begin{eqnarray*} x_{3} = 0 .......... x_{2} = 0 .......... x_{1} = 0 \end{eqnarray*}$

Also für a = 0 gibt es genau eine Lösung, nämlich den Nullvektor (?) Big Laugh

Big Laugh

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06.01.2013, 11:23

lgrizu

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Na endlich.

Okay, dann für $\begin{eqnarray*} a \neq 0 \end{eqnarray*}$ .....

Bringe die Matrix auf Zeilenstufenform, nun darfst du mit a multiplizieren, durch a dividieren, was immer du möchtest, da wir ja a ungleich 0 vorausgesetzt haben.

Also, welche Idee hast du?

06.01.2013, 11:25

DannyDre

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achso hast du das gemeint :P

Dann sollte man wohl immer mit Paramter ist 0 anfangen? Und dann den Rest?

06.01.2013, 11:31

lgrizu

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Wenn du nicht vor hast, mit dem Parameter zu multiplizieren (dann entsteht eine Nullzeiele) oder durch den Paramter zu dividieren (Division durch 0), dann muss man nich mit 0 anfangen. Wenn man jedoch bei Zeilenumformungen mit dem Paramater a macht muss man immer ausschließen, dass dieser 0 ist.

Aber auf ein ähnliches Problem werden wir auch noch st0ßen bei den weiteren Zeilenoperationen, also nun, mal fleißig voran.....

06.01.2013, 11:38

DannyDre

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WOW....... kommt man da überhaupt an was?
Hab jetzt schon 7 Zeilen gerechnet Big Laugh

Big Laugh

Jetzt muss ich schon Polynomdivision machen, weil da ultra große Brüche rauskommen Big Laugh

Big Laugh

06.01.2013, 11:43

lgrizu

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verwirrt

Also ich benötige 2 (bzw. - wenn man jede Zeilenoperation als einen Schritt zählt) 3 Schritte mit Gauß....

Wie schaut denn dein erster Schritt aus?

Du musst schon Ergebnisse präsentieren, wenn ich dir weiter helfen soll.

'Ich muss auch ehrlich sagen, dass mir die Unordnung, die sich durch den ganzen Thread zieht nicht besonders viel Spaß macht, von dir kommen unvollständige Rechnungen und den letzten Post hättest du dir sparen können und statt dessen einmal vorrechnen, was du gemacht hast, aber das passiert im wesentlichen durch Aufforderung meinerseits.

Also: Ohne vorrechnen keine Hilfestellung!!!!

06.01.2013, 11:53

DannyDre

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Ich glaub ich fang immer falsch an; das hab ich bis jetzt:

06.01.2013, 12:03

lgrizu

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Ich würde auch nicht teilen, sondern multiplizieren.

Dann stellt sich mir die Frage, warum du alle Zeilen durch a dividierst (die erste würde doch erst mal ausreichen...), die Ausdrücke werden dadurch nicht einfacher und hilfreich ist das - wie du bereits selbst gemerkt hast - auch nicht.

Multipliziere einmal die zweite und die dritte Zeile mit a und subtrahiere sie dann von der ersten Zeile, also:

Zeile 1 minus Zeile 2 multipliziert mit a und Zeile 1 minus Zeile 3 multipliziert mit a, was erhälst du?

06.01.2013, 12:19

DannyDre

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Ahhhh okay Big Laugh

Big Laugh

Dann wird der Anfang zumindest einfacher Big Laugh

Big Laugh

Mir fällt auf, dass vll x2 das Gegenteil von x3 sein muss und umgekehrt:
also:

$\begin{eqnarray*} x_{2} = - x_{3} ....................x_{3} = - x_{2} \end{eqnarray*}$

06.01.2013, 12:23

lgrizu

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Kein geschwafel, was du mit Gegenteil meinst verstehe ich auch nicht, interpretieren können wir, wenn wir fertig sind und hüte dich - das sollte dir in diesem Thread schon aufgefallen sein - vor voreiligen Schlüssen, die waren (zumindest in diesem Thread) nie ein Treffer.

Also beantworte meine Frage:

Zitat:

Original von lgrizu
Zeile 1 minus Zeile 2 multipliziert mit a und Zeile 1 minus Zeile 3 multipliziert mit a, was erhälst du?

06.01.2013, 12:25

DannyDre

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Oh... jetzt hats die Datei nicht drangehängt...
Hier:

06.01.2013, 12:36

lgrizu

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Okay, soweit so gut, im nächsten Schritt mach dir klar, dass $\begin{eqnarray*} (1-a^2)=(1-a)(1+a) \end{eqnarray*}$ ist.

Womit kann man also die dritte Zeile multiplizieren um an der zweiten Stelle der dritten Zeile den Eintrag 0 zu bekommen?

06.01.2013, 12:43

DannyDre

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So jetzt haben wir schonmal die Stufenform:

06.01.2013, 12:48

lgrizu

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Okay, richtig, wir haben also:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a&1&1&|a^2\\0&1-a^2&1-a&|0\\0&0&a^3+a^2-2a&|0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Allerdings haben wir mit (a+1) multipliziert und wieder müssen wir ausschließen, dass das gleich 0 ist, also prüfen, was passiert, wenn a+1=0 ist.

06.01.2013, 12:51

DannyDre

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wenn:
a = -1: (man hätte mit 0 multipliziert, das heißt egal was vorher da stand, es wird zu 0 und dann hat das ganze LGS NUR 0er und das bedeutet man kann für x einsetzen was man will, die Gleichungen stimmen, also :

wenn:
a = -1: unendlich viele Lösungen!

06.01.2013, 13:51

lgrizu

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Nope, falsch.

Setze einmal a=-1 in das LGS ein bevor wir mit (a+1) multipliziert haben:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-1&1&1&|1\\0&0&2&|0\\0&2&0&|0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Okay, nun zum Abschluss, wir haben die Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a&1&1&|a^2\\0&1-a^2&1-a&|0\\0&0&a^3+a^2-2a&|0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wann haben wir keine, wann eine und wann unendlich viele Lösungen?

Beginnen wir doch mal mit unendlich vielen Lösungen, was ist dafür zu berechnen?

06.01.2013, 13:55

DannyDre

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unendlich viele Lösungen heißt: "In der letzten Zeile dürfen nur 0er stehen"
Also setzen wir a³ + a² - 2a = 0 und erhalten:

Unendliche Lösungen für:

$\begin{eqnarray*} a_{1} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{2} = -2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{3} = 1 \end{eqnarray*}$

06.01.2013, 13:58

lgrizu

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Die Variante a=0 hatten wir schon, was passierte da?

Was ist mit a=-1, was passiert da?

Ansonsten richtig, wir erhalten unendlich viele Lösungen fpr a=1 oder a=-2

06.01.2013, 14:03

DannyDre

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Unendliche Lösungen für:

$\begin{eqnarray*} a = -2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a = 1 \end{eqnarray*}$
_______________________________
Eine einzige Lösung für:

$\begin{eqnarray*} a = 0 \end{eqnarray*}$ (Nullvektor ist die Lösung)
$\begin{eqnarray*} a = -1 \end{eqnarray*}$ (Nullvektor ist die Lösung)
_______________________________

06.01.2013, 14:05

lgrizu

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Welche Lösung erhalten wir für a=-1 ?

Für welche a erhalten wir keine Lösung?

06.01.2013, 14:07

DannyDre

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Keine Lösung gibt es ja nur, wenn links nur 0er stehen und rechts eine Zahl, die nicht 0 ist.

Es stehen aber nie nur 0er links, und wenn, dann ist rechts auch eine 0.
Kann es immer mindestens eine Lösung geben? Also nie keine?

06.01.2013, 14:08

lgrizu

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Jap, betrachte dazu den Fall $\begin{eqnarray*} a(a^2+a-2) \neq 0 \end{eqnarray*}$ , welchen Wert muss dann $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ haben, welchen $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ und welchen $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ ?

06.01.2013, 14:14

DannyDre

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Die (NIcht)Gleichung wird wahr, wenn man alles einsetzt außer -2; 0; 1

Unendliche Lösungen für:
$\begin{eqnarray*} a = -2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a = 1 \end{eqnarray*}$
_______________________________
Eine einzige Lösung für:
$\begin{eqnarray*} a = 0 \end{eqnarray*}$ (Nullvektor ist die Lösung)
$\begin{eqnarray*} a = -1 \end{eqnarray*}$ (Nullvektor ist die Lösung)
_______________________________
Keine Lösung für:
$\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R / \left\{ -2 ; 0 ; 1\right\} \end{eqnarray*}$

06.01.2013, 14:17

lgrizu

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Zitat:

Original von DannyDre
Die (NIcht)Gleichung wird wahr, wenn man alles einsetzt außer -2; 0; 1

Unendliche Lösungen für: Richtig
$\begin{eqnarray*} a = -2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a = 1 \end{eqnarray*}$
_______________________________
Eine einzige Lösung für: falsch, das sind nicht die einzigen Lösungen und die Lösung für a=-1 ist nicht der Nullvektor!
$\begin{eqnarray*} a = 0 \end{eqnarray*}$ (Nullvektor ist die Lösung)
$\begin{eqnarray*} a = -1 \end{eqnarray*}$ (Nullvektor ist die Lösung)
_______________________________
Keine Lösung für: falsch, du hast doch im letzte Post richtig gesagt, dass es stets mindestens eine Lösung gibt, die Frage ist nun, wie diese ausschaut
$\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R / \left\{ -2 ; 0 ; 1\right\} \end{eqnarray*}$

06.01.2013, 14:27

DannyDre

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Ist das nicht egal wie die einfache Lösung aussieht?
Hauptsache es gibt sie Big Laugh

Big Laugh

Aber es gibt eine einzge Lösung, wenn dieses DIngs unten rechts nicht 0 wird. Und das wird nicht Null für:

$\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R / \left\{ -2 ; 0 ; 1\right\} \end{eqnarray*}$

06.01.2013, 14:35

lgrizu

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Und noch einmal: Für a=0 gibt es eine, und zwar genau eine Lösung und das ist der Nullvektor.

Für a=-2 und a=1 gibt es unendlich viele Lösungen, soweit so gut.

Wann gibt es noch genau eine Lösung und wie schaut diese aus?

Einfach GBehaupten kann jeder, nachweisen sollte man es schon und hioer ist der mit Abstand einfachste Nachweis, einfach mal die Lösung aufzuschreiben.

Also, wie schuat der Lösungevektor aus für $\begin{eqnarray*} a^3+a^2-2a \neq 0 \end{eqnarray*}$

06.01.2013, 14:40

DannyDre

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Es tut mir Leid unglücklich

unglücklich

Wie schaut ein Lösungsvektor aus? unglücklich

unglücklich

Ich hab die Ergebnisse immer so higeschrieben x1=..............

06.01.2013, 14:43

lgrizu

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Ein Lösungsvektor ist das Tripel $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , das dein LGS löst.

Also einmal anders gefragt:

Wir betrachten die letzte Zeile des LGS:

$\begin{eqnarray*} (a^3+a^2-2a) \cdot x_3=0 \end{eqnarray*}$

Nun soll $\begin{eqnarray*} (a^3+a^2-2a) \neq 0 \end{eqnarray*}$ sein, also ist $\begin{eqnarray*} x_3=....? \end{eqnarray*}$

06.01.2013, 19:45

DannyDre

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Ich kann ja eigentlich nur sagen was x_3 nicht sein darf. Wie kann man was mit IR (reele Zahlen) in nen Vektor schreiben [ohne bestimmte Zahlen...]?

06.01.2013, 19:49

lgrizu

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Was auch immer du damit sagen möchtest, ich verstehe es schon wieder nicht.....

Wenn ein Produkt 0 ist und ein Faktor ungleich 0, dann muss der andere Faktor Null werden!

Also aus $\begin{eqnarray*} (a^3+a^2-2a)x_3=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (a^3+a^2-2a) \neq 0 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} x_3=0 \end{eqnarray*}$ .

Das sollte einem als Student klar sein.........

Dann weiter, zweite Zeile.......

06.01.2013, 19:53

DannyDre

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Dann is doch
$\begin{eqnarray*} x_{3} = x_{2} = x_{1} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{2} (1-a^2) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} [(1-a^2) \neq 0] \end{eqnarray*}$

?

06.01.2013, 19:59

lgrizu

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Nö, wie kommst du denn darauf ? verwirrt

verwirrt

Nun mach das doch mal Zeile für Zeile, Zeile 3 liefert uns $\begin{eqnarray*} x_3=0 \end{eqnarray*}$ unter der Voraussetzung $\begin{eqnarray*} a(a+2)(a-1) \neq 0 \end{eqnarray*}$

Ferner haben wir den Fall $\begin{eqnarray*} a+1=0 \end{eqnarray*}$ schon untersucht, wir können also auch annehmen, dass $\begin{eqnarray*} a+1 \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Also, nun konzentrier dich mal, sonst wird das nichts.....

Nun Zeile 2, schreib einmal ausführlich auf, wie du auf dein Ergebnis $\begin{eqnarray*} x_2=0 \end{eqnarray*}$ kommst (das ist noch richtig, schreib es dennoch auf, warum muss $\begin{eqnarray*} 1-a^2 \neq 0 \end{eqnarray*}$ sein?)

06.01.2013, 20:07

DannyDre

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$\begin{eqnarray*} x_{2} (1-a^{2} )+0=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (0 = x_{3}) \end{eqnarray*}$
deswegen muss $\begin{eqnarray*} x_{2} = 0 \end{eqnarray*}$

06.01.2013, 20:12

lgrizu

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Okay, ist ja richtig, die Begründung reicht mir noch nicht.

Wir haben bereits die Fälle:

$\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a+2=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a-1=0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} a+1=0 \end{eqnarray*}$ Edit: Dieser fall steht auch noch aus, dein Ergebnis war falsch!

überprüft, wir können also annehmen, dass alle diese Ausdrücke ungleich 0 sind.

Nun sagst du zu Zeile 2:

$\begin{eqnarray*} (1-a^2)=(1+a)(1-a) \neq 0 \end{eqnarray*}$ , aber, warum dürfen wir $\begin{eqnarray*} 1-a \neq 0 \end{eqnarray*}$ annehmen, den Fall hast du noch nicht zufriedenstellend geprüft....

Warum brauchen wir ihn denn an dieser Stelle auch nicht extra untersuchen?

Und danach kommen wir zu Zeile 1.

07.01.2013, 17:30

DannyDre

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wenn a =-1, dann KEINE Lösung (??)

$\begin{eqnarray*} 2x_{3} = 0 \end{eqnarray*}$ => es ist ja egal was $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ für einen Wert hat, es wird nie (w) rauskommen, da nur für $\begin{eqnarray*} x_3 = 0 \end{eqnarray*}$ (w) erhalten lässt Big Laugh

Big Laugh

(wenn $\begin{eqnarray*} x_3 = 0 \end{eqnarray*}$ wäre, gäbe es ja unendlich viele Lösungen) ?

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