Vektorraum Begriffe - Seite 3

07.01.2013, 17:58

lgrizu

Das kann doch so schwer nicht sein....

Wir setzen a=-1 und erhalten als Matrix (bevor wir mit (a+1) multiplizieren) :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-1&1&1&|1\\0&0&2&|0\\0&2&0&|0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die letzte Zeile liefert $\begin{eqnarray*} 2 x_3=0 \Rightarrow x_3=0 \end{eqnarray*}$

Die zweite Zeile liefert $\begin{eqnarray*} 2 x_2=0 \Rightarrow x_2=0 \end{eqnarray*}$

Die erste Zeile liefert:

$\begin{eqnarray*} -x_1=1 \Rightarrow x_1=-1 \end{eqnarray*}$

Es gibt also eine Lösung!

$\begin{eqnarray*} a-1 \neq 0 \end{eqnarray*}$ können wir bedenkenlos annehmen, da $\begin{eqnarray*} 1-a \neq 0 \Rightarrow -(1-a) =a-1 \neq 0 \end{eqnarray*}$

Also sind wir hier:

Zitat:

Nun mach das doch mal Zeile für Zeile, Zeile 3 liefert uns $\begin{eqnarray*} x_3=0 \end{eqnarray*}$ unter der Voraussetzung $\begin{eqnarray*} a(a+2)(a-1) \neq 0 \end{eqnarray*}$

Die zweite Zeile liefert uns $\begin{eqnarray*} x_2=0 \end{eqnarray*}$ unter den angebenen Voraussetzungen.

Was liefert nun die erste Zeile?

richtig: $\begin{eqnarray*} ax_1=a^2 \Rightarrow x_1=a \end{eqnarray*}$

So, nun schreibe noch einmal alle Lösungen sauber auf.

07.01.2013, 18:24

DannyDre

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eine Lösung:
$\begin{eqnarray*} a = 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x_{1} = x_{2} = x_{3} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a = -1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x_{1} = a \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x_{2} = x_{3} = 0 \end{eqnarray*}$

unendliche Lösungen:
$\begin{eqnarray*} a = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a = -2 \end{eqnarray*}$

Keine Lösung:
NIE

PS: Was passiert wenn man einsetzt? $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R / \left\{ -2;-1;0;1\right\} \end{eqnarray*}$

07.01.2013, 18:48

lgrizu

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Jetzt hast du Lösungen für die Spezialfälle a=0, a=1, a=-1 und a=-2, was ist mit allen anderen Werten für a?

Das sollte mitlerweile klar sein und wurde auf den letzten beiden Seiten dieses Threads ausführlich behandelt.

$\begin{eqnarray*} a(a-1)(a+2)x_3=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a(a-1)(a+2) \neq 0 \end{eqnarray*}$ führt zu $\begin{eqnarray*} x_3=0 \end{eqnarray*}$

zweite Zeile:

$\begin{eqnarray*} 0=(1+a)(1-a) x_2+(1-a)x_3=(1+a)(1-a) x_2+(1-a) \cdot 0=(1+a)(1-a) x_2 \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} (1+a)(1-a) \neq 0 \end{eqnarray*}$ führt zu $\begin{eqnarray*} x_2=0 \end{eqnarray*}$

erste Zeile:

$\begin{eqnarray*} ax_1+ x_2+x_3=a^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_2,x_3=0 \end{eqnarray*}$ führt zu $\begin{eqnarray*} x_1=a \end{eqnarray*}$

Puh, schwere Geburt......

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