Vektorraum Begriffe

05.01.2013, 11:28

DannyDre

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Vektorraum Begriffe

Ich hab hier ein paar Vektorraumbegriffe Aufgaben und habe ein paar Fragen dazu :P

zu 3a) Ven Vektoren eine Basis bilden, dann muss es ja eigentlich eine (ebene) Fläche ergeben. Und das heißt, wenn man das Volumen (Spatprodukt) ausrechnen würde, und es würde 0 ergeben, hätte man eine Fläche, weil von einer Fläche ja das Volumen 0 ist.

Also hab ich das Spatprodukt berechnet von:
(ANHANG)

und habe aber -1 raus. Das würde ja bedeuten, es ist keine ebene Fläche und keine Basis.
Hab 2x nachgerechnet, die Rechnung stimmt. (Bei anderen Aufgaben habe ich es auch so gerechnet und wenn es eine Ebene sein soll, kommt auch Volumen = 0 raus.....)

Demnach kann ich 3b) nicht machen unglücklich

unglücklich

zu 5a) Hier wieder das Spatprodukt berechnet = 0! => a, b, c sind eine Basis
Dann hab ich die Gleichung aufgestellt:
(ANHANG)
und kam dann auf die Werte! Ist das die Lösung??

05.01.2013, 11:58

lgrizu

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RE: VektorraumBegriffe (Aufgaben richtig?)
Ich steige durch die Reihenfolge nicht ganz durch.

und folgendes verstehe ich auch nicht:

Zitat:

zu 3a) Ven Vektoren eine Basis bilden, dann muss es ja eigentlich eine (ebene) Fläche ergeben. Und das heißt, wenn man das Volumen (Spatprodukt) ausrechnen würde, und es würde 0 ergeben, hätte man eine Fläche, weil von einer Fläche ja das Volumen 0 ist.

Es kommt ganz darauf an, von was für einem Vektorraum eine Basis gesucht wird, handelt es sich um einen zweidimensionalen Raum oder einen zweidimensionalen Unterraum eines (euklidschen) Vektorraums, dann hat man eine (flache) Ebene durch den Ursprung, ansonsten eher nicht.

Aber mal zu den Aufgaben:

In der Aufgabe 3a) ist zu zeigen, dass die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{i}=\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}; \vec{j}=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}; \vec{k}=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ bilden?

Was ist denn eine Basis? Was ist also zu zeigen?

05.01.2013, 12:01

DannyDre

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Danke,

ich denke der Vektorraum ist R^3.

Also bei R^3 stell ich mir einen Würfel vor. Und wenn 3 beliebige Vektoren eine Basis sein müssen, dann liegen sie auf einem Stück Papier (also ebene Fläche, ohne VOlumen!) und um zu zeigen, dass 3 Vektore eine Basis sind, berechne ich das VOlumen. Und wenn dieses 0 ergibt, hat der Körper, der von den 3 Vektoren aufgesoannt wird, kein Volumen, ist also eine ebene Fläche und bilden daher eine Basis.

Oder hab ich mir das falsch überlegt? unglücklich

unglücklich

05.01.2013, 12:04

lgrizu

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Jap, so ziemlich, aber ganz verstehe ich deinen Gedankengang immer noch nicht.

Eine Basis ist ein minimales Erzeugendensystem. Man kann sich den IR³ als Würfel ohne Grenzen vorstellen, nun muss jeder Punkt in diesem Würfel erreichbar sein, nicht nur auf der Oberfläche sondern auch im inneren, wie veiel Vektoren benötigt man dafür?

05.01.2013, 12:07

DannyDre

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unendlich viele? :P

05.01.2013, 12:14

Leopold

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DannyDre stellt die Sache auf den Kopf.

Drei Vektoren bilden nicht dann eine Basis, wenn sie "auf einem Stück Papier liegen", sondern umgekehrt, wenn sie, an einem gemeinsamen Punkt angeheftet, etwas Dreidimensionales aufspannen (genau genommen ein sogenanntes Parallelepiped, auch Spat genannt).

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05.01.2013, 12:16

DannyDre

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Achsoooo :P

Also bei nem "normalen kartesischen" Koordinatensystem spannen dann die Vektoren
$\begin{eqnarray*} \vec{x} , \vec{y} , \vec{z} \end{eqnarray*}$ eine Basis auf?

Also wenn es ein VOlumen gibt, dann ist es eine Basis!
Gibt es kein Volumen (=0) ist es keine Basis

05.01.2013, 12:17

Leopold

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So kann man das sagen.

05.01.2013, 12:24

DannyDre

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also Lösung:

3a) Spatprodukt = 1 => Vektoren bilden eine Basis (Kann man das auch anders rechnen als mit Spatprodukt?)
3b) wenn ich mich nicht verrechnet habe: $\begin{eqnarray*} \lambda_{1} = -1.....<br /> \lambda_{2} = 1.....<br /> \lambda_{3} = 4 \end{eqnarray*}$

05.01.2013, 12:35

lgrizu

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Jap, ist aber so ziemlich äquivalent, Determinante der Koeffizientenmatrix oder LGS lösen um auf lineare unabhängigkeit zu prüfen.

Zu b): stelle a als Linearkombination der Basis i,j,k dar.

05.01.2013, 12:42

DannyDre

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3b) $\begin{eqnarray*} - \frac{1}{3} \vec{i} + \vec{j} + \frac{8}{3} \vec{k} = \vec{a} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{3} \\ 1 \\ \frac{8}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So dann hab ich das jetzt verstanden :P
Vielen Dank!!!!!

Hab den Koordinatenvektor schnell ergänzt :P

Edit: jetzt müsste es stimmen :P

05.01.2013, 12:45

DannyDre

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Ich hasse so LGS mit Paramtern unglücklich

unglücklich

Das ist gegeben (Das 1.)
Ich habs etwas umgestellt und das schonmal rausgefunden:
Wahrscheinlich gibts noch mehr oder?

unendlich viele Lösungen: $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$
keine Lösung: $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$
eine Lösung: $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R / \left\{ 0; 1\right\} \end{eqnarray*}$

05.01.2013, 12:45

lgrizu

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Der Koordinatenvektor ist also welcher?

Edit: Wo kommt denn auf einmal das LGS her? verwirrt

verwirrt

05.01.2013, 12:47

DannyDre

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Das ist eine neu Aufgabe :P

05.01.2013, 12:50

lgrizu

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Zitat:

Original von DannyDre
3b) $\begin{eqnarray*} -\vec{i} + \vec{j} + 4 \vec{k} = \vec{a} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So dann hab ich das jetzt verstanden :P
Vielen Dank!!!!!

Hab den Koordinatenvektor schnell ergänzt :P

Das ist leider falsch, die letzte Zeile haut nicht hin:

$\begin{eqnarray*} 1+1-4=-2 \neq -3 \end{eqnarray*}$

05.01.2013, 12:51

lgrizu

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So, jetzt mal eins nach dem anderen:

Die Aufgabe 3a) ist erledigt, 3b ist noch nicht richtig gelöst, überprüfe dein Ergebnis.

Dann: Was ist mit 5a und 5b?

Und danach: Wier lautet denn die "neue Aufgabe" ?

05.01.2013, 12:55

DannyDre

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oben ausgebessert :P

05.01.2013, 12:58

DannyDre

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ahhh stimmt Big Laugh

Big Laugh

zu 5a) Hier wieder das Spatprodukt berechnet = 0! => a, b, c sind KEINE Basis

Wenn a,b,c keinen Vektorraum aufspannen, dann liegt KEIN Vektor drinnen, also speziell der v auch nicht.
Is das korrekt?

zum LGS: Man soll angeben, wann es keine/eine/Unendliche Lösungen gibt!

05.01.2013, 13:04

lgrizu

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Um zu überprüfen, ob a,bc eine Basis bilden müsste man noch b und c kennen.....

Desweiteren stimmt das nicht, nur weil sie keine Basis bilden bedeutet das nicht, dass die keinen Vektorraum aufspannen.

Also zuerst einmal die Vektoren b und c posten, dann kann ich das überprüfen.

Dann überlege einmal, welchen Vektorraum sie aufspannen, kannst du eine Basis finden?

05.01.2013, 13:12

DannyDre

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Muss man dann theoretisch 3 Rechnungen machen?
Erst auf a b beziehen, dann b c und dann a c ?

Hab gerade was versucht mit lineare Unabhängigkeit:
LGS aufgestellt und dann kommt raus, dass es unendlich viele Lösungen gibt:
Hab sie dann aufgestellt:

$\begin{eqnarray*} \lambda _{1} = - 2 \lambda _{3} .........<br /> \lambda _{2} = 3 \lambda _{3} .........<br /> \lambda _{3} = \lambda _{3} \end{eqnarray*}$

Kann man jetzt sagen, ob sie linear unabhängig sind? Is ja dann eher eine Fallunterscheidung möglich:
Für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ = 0 sind sie linear unabhängig
Für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ nicht = 0 linear abhängig

05.01.2013, 13:31

lgrizu

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Wie bereits gesagt, um das zu überprüfen müsste man die Vektoren kennen....

Zitat:

Kann man jetzt sagen, ob sie linear unabhängig sind? Is ja dann eher eine Fallunterscheidung möglich:
Für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ = 0 sind sie linear unabhängig
Für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ nicht = 0 linear abhängig

Das ist ziemlich daneben, Vektoren heißen linear unabhängig, wenn das LGS $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n} \lambda_i \vec{x_i}=0 \end{eqnarray*}$ nur die triviale Lösung $\begin{eqnarray*} \lambda_i=0 \forall i \end{eqnarray*}$ besitzt.

Dass eine Summe 0 wird, wenn man jeden Sumamnden mit 0 multipliziert ist wohl klar.

Wenn es eine Lösung gibt, in der ein oder mehrere $\begin{eqnarray*} \lambda_i \neq 0 \end{eqnarray*}$ sind, dann heißen die Vektoren linear abhängig.

Aber wie gesagt, wie lauten denn die Vektoren?

05.01.2013, 13:33

lgrizu

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So, Mittagszeit, bis später.....

05.01.2013, 13:34

DannyDre

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siehe unten!

05.01.2013, 13:43

DannyDre

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nochmal nachgerechnet:
Das Spatprodukt ist wirklich 0, d.h. $\begin{eqnarray*} \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \end{eqnarray*}$ bilden keine Basis.

So und ob der v im Vektorraum liegt hab ich gerechnet:

Das ist eine allgemeine Lösung

05.01.2013, 14:13

lgrizu

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Okay, die Vektoren sind also linear abhängig, hats auch scheinbar richtig gerechnet.

Nun spannen sie also nicht den gesamten IR² auf, sondern lediglich einen Unterraum, kannst du für diesen Unterraum eine Basis finden?

Was ist eigentlich mit der Aufgabe 3b geworden?

05.01.2013, 14:21

DannyDre

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3b) habe ich schon ausgebessert und stimmt jetzt vermutlich :P

Welche Basis genau meist du?

05.01.2013, 14:24

lgrizu

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Zitat:

3b) habe ich schon ausgebessert und stimmt jetzt vermutlich :

Dann verlinke bitte einmal den Post oder schreibe es noch mal auf, ich lese nicht etliche Beiträge durch, in denen eventuell später noch mal rumgeschrieben wird.

Zitat:

Welche Basis genau meist du?

Die des Unterraums von IR³, der durch die Vektoren a,b,c aufgespannt wird.

05.01.2013, 14:31

DannyDre

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Zitat:

Original von DannyDre
3b) $\begin{eqnarray*} - \frac{1}{3} \vec{i} + \vec{j} + \frac{8}{3} \vec{k} = \vec{a} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{3} \\ 1 \\ \frac{8}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So dann hab ich das jetzt verstanden :P
Vielen Dank!!!!!

Hab den Koordinatenvektor schnell ergänzt :P

Edit: jetzt müsste es stimmen :P

Das meinte ich :P

und Spatprodukt (=Basis) hab ich ja schon ausgerechnet.

05.01.2013, 14:44

lgrizu

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Zitat:

Original von DannyDre
3b) $\begin{eqnarray*} - \frac{1}{3} \vec{i} + \vec{j} + \frac{8}{3} \vec{k} = \vec{a} {\color{red}=} \begin{pmatrix} -\frac{1}{3} \\ 1 \\ \frac{8}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So dann hab ich das jetzt verstanden :P
Vielen Dank!!!!!

Hab den Koordinatenvektor schnell ergänzt :P

Edit: jetzt müsste es stimmen :P

als erstes einmal stimmt das Gleichheitszeiochen definitiv nicht!

Aber ich denke einmal, das soll der Koordinatenvektor von a sein, dieser ist jedoch nicht gleich a, oder nur in ganz seltenen Fällen.

Und dann stimmt das schon wieder nicht, da warst du bei der ersten Lösung näher dran....

Rechne doch einmal die Zeilen nach, dritte Zeile:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}+1-\frac{8}{3}=-\frac{4}{3} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von DannyDre
und Spatprodukt (=Basis) hab ich ja schon ausgerechnet.

Wieso sollte denn das Spatprodukt gleich der Basis sein? Das Spatprodukt liefert dir das Volumen des von den Vektoren eingeschlossenen Spats, eine Basis ist eine Menge von Vektoren......

Deine Vektroen a,b,c erzeugen einen Unterraum des IR³, sie sind linear abhängig, bilden also keine Basis, dennoch erzeugen sie einen Vektorraum!

Aber nun kümmer dich als allererstes mal um die Aufgabe 3b).

05.01.2013, 14:54

DannyDre

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$\begin{eqnarray*} -2\vec{i} +\vec{j} +6\vec{k} \Rightarrow \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste es stimmen Big Laugh

Big Laugh

Und wie berechnet man den Vektorraum? Is das ne Matrix?

05.01.2013, 14:59

lgrizu

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So, nun ist richtig.

Kommen wir wieder zur 5.

Du musst dir wirklich ein wenig struktur angewöhnen.....

Also wir haben:

- Die Vektoren sind linear abhängig => sie spannen nicht den gesamten IR³ auf, wohl aber einen Unterraum

Nun die Frage: liegt der Vektor v in diesem Unterraum?

Was ist dazu zu berechnen?

05.01.2013, 15:45

DannyDre

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die ganzen $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ berechnen?

Das hatte ich auch schon gemacht und das kam dann raus:

05.01.2013, 16:10

lgrizu

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Die Herangehensweise stimmt, aber das Ergebnis nicht.

Erweiterte Matrix in Zeilenstufenform ist

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&0&2&|1\\0&-1&3&|1\\0&0&0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Du hast nun $\begin{eqnarray*} \lambda_1=a \end{eqnarray*}$ parametrisiert, dann ergibt die erste Zeile

$\begin{eqnarray*} a+2 \lambda_3=1 \Rightarrow \lambda_3=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}a \end{eqnarray*}$

Nun die zweite Zeile:

$\begin{eqnarray*} - \lambda_2+3 \cdot \lambda_3=1 \Rightarrow \lambda_2=-1+3 \cdot \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}a \right) \Rightarrow ..... \end{eqnarray*}$

05.01.2013, 16:51

DannyDre

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So ähnlich hab ichs auch gerechnet :P

Ich überprüf es nochmal

(PS: Dieses parametisieren hab ich nie verstanden.... und das muss man ja bei Eigenvektoren am Ende machen....... und ich hab mich immer gefragt, wo bei denen jetzt plätzlich alpha herkommt....... )

05.01.2013, 17:16

lgrizu

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Das ganze geht auch um einiges einfacher und darauf wollte ich am Anfang hinaus, als ich dich nach einer Basis des Unterraums gefragt hatte:

Es ist $\begin{eqnarray*} 2 \cdot \vec{a}+ (-3) \cdot \vec{b}=\vec{c} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left\{ \vec{a};\vec{b} \right\} \end{eqnarray*}$ ist linear unabhängig, bildet also eine Basis des von a, b, c aufgespannten Unterraums.

Nun ist, wie man leicht sehen kann:

$\begin{eqnarray*} \vec{a}- \vec{b}= \vec{v} \end{eqnarray*}$

Das gleiche Ergebnis erhälst du, wenn du das von dir aufgestellte LGS richtig löst und $\begin{eqnarray*} \lambda_1=1 \end{eqnarray*}$ setzt.

05.01.2013, 19:13

DannyDre

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Ah das is ja interessant Big Laugh

Big Laugh

Und warum setzt man dann $\begin{eqnarray*} \lambda _{1} = 1 \end{eqnarray*}$
und keine andere Zahl ein?

(Das macht man ja bei Eigenvektoren auch, und da verstehe ich auch nicht, warum?)

05.01.2013, 20:13

lgrizu

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Weil es egal ist, man kann auch $\begin{eqnarray*} \lambda_1=5 \end{eqnarray*}$ oder ähnliches wählen, uns interessiert hier ja nur eine Linearkombination und nicht die Menge aller Linerakombinationen, die möglich sind.

Bei Eigenvektoren interessiert zumeist auch nur eine Basis des Eigenraums, deshalb kann man den Parameter frei wählen.

05.01.2013, 21:20

DannyDre

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okay.... Dankeschön für die gute Hilfe und bis zur nächsten Frage Big Laugh

Big Laugh

05.01.2013, 21:21

lgrizu

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Steht nicht noch die Aufgabe mit dem LGS mit Parameter aus? verwirrt

verwirrt

05.01.2013, 23:26

DannyDre

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Zitat:

Original von DannyDre
Ich hasse so LGS mit Paramtern unglücklich

unglücklich

Das ist gegeben (Das 1.)
Ich habs etwas umgestellt und das schonmal rausgefunden:
Wahrscheinlich gibts noch mehr oder?

unendlich viele Lösungen: $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$
keine Lösung: $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$
eine Lösung: $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R / \left\{ 0; 1\right\} \end{eqnarray*}$

Ja die hier Big Laugh

Big Laugh

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