vollständige Induktion

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05.01.2013, 11:44	vfbf4n1893	Auf diesen Beitrag antworten »
vollständige Induktion Meine Frage: Hallo! Ich soll die folgende Summenformel der Zweierpotenzen mittels vollständiger Induktion beweisen und hänge beim letzten Schritt, dem Beweis: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^n 2^{k} = 2^{n+1} - 1 \end{eqnarray}$ IA: ist klar, habe für alles 1 eingesetzt und es kommt auf jeder Seite 3 raus. IVorrausetzung: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^n 2^{k} = 2^{n+1} - 1 \end{eqnarray}$ IBehauptung: n+1 einsetzen dann steht ja da: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{n+1} 2^{k} = 2^{(n+1)+1} - 1 \end{eqnarray}$ Ok und nun der Beweis; Zunächst die linke Seite umformen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{n} 2^{k} + 2^{n+1} \end{eqnarray}$ dann die rechte Seite der IVorraussetzung einsetzen für die Summenformel: $\begin{eqnarray} 2^{n+1} -1 + 2^{n+1} \end{eqnarray}$ Steht dann da. Wie komme ich nun auf die rechte Seite der IBehauptung? Oder stimmt hier irgendwas nicht? Danke! Meine Ideen: Siehe oben
05.01.2013, 11:47	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: vollständige Induktion Ich geb mal den hoffentlich ultimativen Tip: $\begin{eqnarray} 2^{n+1} -1 + 2^{n+1}=(2^{n+1} + 2^{n+1})-1 \end{eqnarray}$
05.01.2013, 11:48	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: vollständige Induktion Doch, stimmt so weit. Wir haben also (ich vertausche einmal die Reihenfolge und wende das Assoziativgesetz an) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{n+1} 2^k=\underbrace{(2^{n+1}+2^{n+1})}_{\textbf{schreibe dieses als Produkt}}-1 \end{eqnarray}$
05.01.2013, 11:48	Monoid	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: vollständige Induktion Du hast also den Term $\begin{eqnarray} 2^{n+1}-1 + 2^{n+1} \end{eqnarray}$ . Du kannst dort zusammenfassen... Die 2-er Potenzen...
05.01.2013, 16:39	vfbf4n1893	Auf diesen Beitrag antworten »
Stehe gerade irgendwie auf dem Schlauch. Also einfach die 2er zusammenrechnen zu dann 4^n+1 ?
05.01.2013, 16:44	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Setzen wir mal n=1 ein: 8=2²+2²=4²=16? Setze $\begin{eqnarray} 2^{n+1}=x \end{eqnarray}$ , dann lautet deine Gleichung x+x=?
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05.01.2013, 16:57	vfbf4n1893	Auf diesen Beitrag antworten »
x+x=2x? 2x=2(2^n+1)? Stimmt das?
05.01.2013, 17:04	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Bis dahin ja und nun heisst es Potenzgesetze anwenden.
05.01.2013, 17:32	vfbf4n1893	Auf diesen Beitrag antworten »
ja gut ausgerechnet ist das doch 4^n+1 oder nicht? ansonsten sags mir am besten, steh grad aufem schlauch.
05.01.2013, 17:37	Monoid	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein... Was weißt du Über ein Produkt von zwei Potenzen mit den gleichen Basen? Es passiert etwas mit den Exponenten...
05.01.2013, 18:01	vfbf4n1893	Auf diesen Beitrag antworten »
ja die exponenten werden addiert und die basis bleib gleich?
05.01.2013, 21:34	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
So lautet das entsprechende Potenzgesetz, ja. Was ist also $\begin{eqnarray} 2\cdot 2^{n+1} \end{eqnarray}$ ?
06.01.2013, 09:14	vfbf4n1893	Auf diesen Beitrag antworten »
2^n+2? Das wäre dann ja gleich, ok, dann hab ich es kapiert, danke Jedoch eine frage noch. Wieso kann ich so einfach die zwei ausklammern ohne das hoch n? Kannst du dad nochmal erklären an nem 2. Beispiel?
06.01.2013, 09:45	HelferFürMathematik	Auf diesen Beitrag antworten »
du meinst, wieso 2^(n+1) + 2^(n+1) zu 2 * [ 2^(n+1) ] wird? Einerseits hast du es schon erkannt, allgemein gilt ja x+x = 2x; Andererseits kann man es sich durch Ausklammern folgendermaßen klar machen: 2^(n+1) + 2^(n+1) = 2^(n+1) (1+1) = 2 * 2^(n+1) . Ich habe einfach 2^(n+1) ausgeklammert. Du schriebst noch, wieso man einfach eine 2 "ausklammern" kann, ich mache das mal für dich : 2^(n+1) + 2^(n+1) = 2 * 2^n + 2 * 2^n = 2 * (2^n + 2^n), und wir stehen wieder vor einem ähnlichen Problem: was ist 2^n + 2^n? Also entweder gleich x+x=2x verwenden, oder 2^(n+1) als ganzes ausklammern.
10.01.2013, 14:47	vfbf4n1893	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch ne andere Frage: UNd wieso wird dann aus n nicht 2n? weil ich ja 2^n+1 + 2^n+1 rechne. Die 1 wird zu 2. Wieso wird dann n nicht zu 2n?
10.01.2013, 17:42	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Frage verstehe ich nicht..... Potenzgesetze sollten doch klar sein.
12.01.2013, 19:12	anonym753	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion Anfang Hallo, bin auch gerade dabei mir irgendwie die vollständige Induktion beizubringen. Ich scheitere schon am Anfang wieso ist denn die Summe n, mit k=0 über 2^k = 3?
13.01.2013, 08:08	Monoid	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion Anfang Verstehst du den Indukionsanfang nicht? Du hast n=1: Was ist dann $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{n} 2^{k} \end{eqnarray}$ ? Schreib mal alle Summanden hin.... Die 1 wird zur 2, weil folgendes Potenzgesetz gilt: $\begin{eqnarray} a^{n} \cdot a^{m}=a^{n+m} \end{eqnarray}$ Wir haben $\begin{eqnarray} 2^{n+1}+2^{n+1}=2 \cdot 2^{n+1}=2^{1} \cdot 2^{n+1}=2^{n+2} \end{eqnarray}$ . Beiträge zusammengeführt, bitte verwende die Edit-Funktion und produziere keinen Doppelpost! LG Iorek

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