Beweisen, dass eine Ableitung nicht existiert

05.01.2013, 13:05

hoernchen

Beweisen, dass eine Ableitung nicht existiert

Meine Frage:
Hallo,

ich soll beweisen, dass die Funktion f(x) = $\begin{eqnarray*} x+(x-4)^{\frac{2}{3} } \end{eqnarray*}$ an dem Punkt x=4 nicht ableitbar ist.

Meine Ideen:
Wenn ich die die Funktion ableite erhalte ich $\begin{eqnarray*} 1+\frac{2}{3(x-4)^{\frac{1}{3} } } \end{eqnarray*}$ und da sehe ich, dass ich 4 nicht einfach einsetzen kann. Da dies aber kein Beweis ist, habe ich versucht, dass ganze über die Definiton der Ableitung zu beweisen.

Also,
f'(x)= $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 4} \frac{x+(x-4)^{2/3}-4 }{x-4} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt: f'(x)= $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 4} (x-4)^{2/3} \end{eqnarray*}$
Der Grenzwert ist also 0, was doch bedeutet, dass eine Ableitung der Funktion an dem Punkt x=4 existiert, oder nicht?

Ich würde mich freuen, wenn mir jemand sagen könnte, wo mein Fehler ist. Danke im Vorraus.

05.01.2013, 13:09

Helferlein

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Deine Folgerung ist falsch. Du darfst nicht einfach einen Term aus dem Grenzwert weglassen, nur weil er für sich genommen gegen Null geht.
Sinnvoller wäre hier kürzen.

05.01.2013, 13:13

hoernchen

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Aber kann ich nicht das x im Zähler mit dem x im Nenner, sowie die -4 im Zähler mit der -4 im Nenner kürzen?

05.01.2013, 13:34

Helferlein

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Wie war der Spruch mit dem Kürzen aus Summen? Augenzwinkern

Abgesehen davon ist z.B. $\begin{eqnarray*} \frac{4+2}2 \end{eqnarray*}$ auch nicht 4

05.01.2013, 13:49

Matze84

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Zitat:

Original von hoernchen
Aber kann ich nicht das x im Zähler mit dem x im Nenner, sowie die -4 im Zähler mit der -4 im Nenner kürzen?

Das "x" könntest du z.B. NUR rauskürzen, wenn du es vorher ausklammerst!

Also:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{x\cdot (1+\frac{(x-4)^\frac{2}{3}}{x}-\frac{4}{x})}{x\cdot (1-\frac{4}{x})} \end{eqnarray*}$

Und ich glaube, das läuft auf $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$ hinaus.
Also solltest du es vielleicht mal mit der Regel von l'Hospital versuchen....

EDIT: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{f'(x)}{g'(x)} \end{eqnarray*}$
wobei f(x) dein Zähler und g(x) dein Nenner ist.
EDIT ENDE
OHNE GEWÄHR Augenzwinkern

05.01.2013, 13:51

hoernchen

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Verweist du auf: "Aus den Summen kürzen nur die Dummen"? Gut, jetzt hab ich den auch wieder im Kopf.

Kann ich es dann so lösen?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 4} (\frac{x-4}{x-4} ) + \frac{(x-4)^{(2/3)} }{(x-4)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 4} 1+ \frac{1}{(x-4)^{\frac{1}{3} } } \end{eqnarray*}$

Jetzt den links-, und den rechtsseitigen Grenzwert ausrechnen und die sind $\begin{eqnarray*} \pm \infty \end{eqnarray*}$ .

Wobei ich mir aber noch nicht sicher bin, warum genau die Grenzwerte
sind $\begin{eqnarray*} \pm \infty \end{eqnarray*}$ sind.

Ist das, weil $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ist?

05.01.2013, 14:26

Helferlein

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So sollte es stimmen Freude

05.01.2013, 22:10

hoernchen

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Vielen Dank euch beiden!

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