Konvergenz von Reihe

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05.01.2013, 14:22	StevenSpielburg	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Reihe Hallo, ich hänge momentan an einer Aufgabe fest. Die Nullfolge zu bestimmen ist kein Problem...allerdings mit dem Quotienkriterium die Konvergenz zu beweisen schon. Hier mal die Reihe: 1) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n} }{\sqrt{n} } \end{eqnarray}$
05.01.2013, 14:38	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Quotientenkriterium und Wurzelkriterium sind hier nicht zielführend. Stattdessen solltest du das Vergleichskriterium benutzen. Erstmal aber erweitere gemäß der 3.binomischen Formel, dann siehst du den Rest vielleicht schon alleine. Gruß Shipwater
05.01.2013, 15:54	StevenSpielburg	Auf diesen Beitrag antworten »
so erweitern? $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} }{\sqrt{n} } \end{eqnarray*}$
05.01.2013, 16:33	Michael2	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja und jetzt vereinfachen. Kannst ja den Term unter dem ersten Bruchstrich direkt mit $\begin{eqnarray} \sqrt{n} \end{eqnarray}$ multiplizieren, ist nur 'ne andere Notation und sieht schöner aus. Hast du die Formel angewandt solltest du eigentlich recht schnell sehen, was du mit dem kriterium machen kannst.
09.01.2013, 15:41	StevenSpielburg	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, sry war etwas beschäftigt und konnte nicht mehr reinschaun. Aber jetzt gehts weiter. Habe die Aufgabe immer noch nicht gelöst. Als Kriterien stehen mir zur Auswahl Quotientenkriterium, Wurzelkriterium und das Leibniskriterium, sowie Majoranten- und Minorantenkriterium. Das Vergleichskriterium kenne ich nicht, aber wenn das damit sehr einfach geht bin ich offen für alles. Ich habe die ganze Geschichte mit dem Quotientenkriterium versucht. Wenn ich alle meine Rechenschritte aufschreibe, bin ich morgen noch nicht fertig, kurz gesagt, es hat nicht geklappt damit. Also wie soll ich weiter vorgehen? Idee von Michael2 war ja schon mal die Wurzel n mit dem Bruch zu multiplitieren: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n} )(\sqrt{n+1}+\sqrt{n} )}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}) \sqrt{n} } \end{eqnarray}$
09.01.2013, 15:49	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Quotientenkriterium ist hier wie schon gesagt nicht zielführend, da der dabei resultierende Quotient gegen 1 konvergieren würde. Und mit Vergleichskriterium ist übrigens nichts anderes als Majoranten/Minorantenkriterium gemeint. Wieder zum ursprünglich vorgeschlagenen Weg: Du solltest nun den Zähler ausmultiplizieren (3.binomische Formel) Gruß Shipwater
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09.01.2013, 15:53	NeoKortex	Auf diesen Beitrag antworten »
er meint ( a + b ) * ( a - b ) = a^2 - b^2 damit kriegst du deine Wurzeln weg
09.01.2013, 16:00	StevenSpielburg	Auf diesen Beitrag antworten »
okay also mal gerechnet $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n\sqrt{\frac{1}{n}+1 }+n } \end{eqnarray}$ ah okay wenn jetzt ich jetzt den limes für die wurzel laufen lasse würde ich ja n1+n in dem nenner stehen haben. dann hätte ich als bruch $\begin{eqnarray} \frac{1}{n+1} \end{eqnarray}$ und dann würde ich sagen, dass $\begin{eqnarray} \frac{1}{n+1} \end{eqnarray}$ < $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \frac{1}{n+1} \end{eqnarray}$ meine divergente Minorante darstellt und somit Divergenz folgt?
09.01.2013, 16:21	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Limeszeichen hat dort nichts verloren. Du solltest diesen Ausdruck nun durch eine divergente Minorante nach unten abschätzen. Gruß Shipwater
09.01.2013, 16:34	StevenSpielburg	Auf diesen Beitrag antworten »
okay um das nochmal aufzugreifen... divergente minorante heißt doch, dass ich jetzt eine reihe suche, wo gilt, dass meine gegebene reihe größer ist, als die divergente reihe die ich gesucht habe oder? also an gegeben, bn gesucht an>bn sein und bn muss divergent sein. okay wie finde ich so eine divergente minorante denn? da tue ich mich noch ziemlich schwer
09.01.2013, 17:33	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Gedanken sind soweit korrekt. Ich würde nun die Wurzel abschätzen. Wenn du den Bruch kleiner machen willst, kannst du dafür ja den Nenner vergrößern. Was ist denn der größte Wert den $\begin{eqnarray} \sqrt{\frac{1}{n}+1} \end{eqnarray}$ annehmen kann? (Du darfst hier aber auch ruhig großzügig abschätzen) Gruß Shipwater
09.01.2013, 17:57	StevenSpielburg	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ wäre der größte wert ich weiß nur nicht, wie ich mir sicher sein kann, dass ich wirklich eine passende majorante bzw minorante erwische die dazu passt
09.01.2013, 17:58	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du den Ausdruck unter der Wurzel durch 2 ersetzt dürfte es schon passen. Du kannst ihn aber auch durch einen größeren Wert wie etwa 4 ersetzen damit die Wurzel "aufgeht"... Gruß Shipwater
10.01.2013, 13:56	StevenSpielburg	Auf diesen Beitrag antworten »
okay habe ich mal gemacht, hoffe das du das so meintest: $\begin{eqnarray} \frac{1}{n\sqrt{4}+n } \end{eqnarray*}$ so und jetzt muss ich wahrscheinlich noch beweisen, dass meine neue reihe divergent ist oder?
10.01.2013, 13:59	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja.

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