Fourier-Reihe sin^2(x)

05.01.2013, 14:52

ifelx

Fourier-Reihe sin^2(x)

Ich soll die Fourier-Reihe sin^2(x) bestimmen mit der periode pi
da die funktion symmterisch ist fallen alle b_n weg
an= 1/pi * integral(sin^2(x)cos(2nx) von null nach pi (anstatz richtig?)

05.01.2013, 15:07

zyko

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RE: Fourier-Reihe sin^2(x)
Es gilt
$\begin{eqnarray*} \sin^2(x)+\cos^2(x)=1 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x) \end{eqnarray*}$
Mit diesen beiden Gleichungen kann man für $\begin{eqnarray*} \sin^2(x) \end{eqnarray*}$ einen Term ohne Potenz erhalten. Damit lässt sich das gesuchte Integral direkt ablesen.

05.01.2013, 15:24

ifelx

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sin^2(x)=0,5(1-cos2x)
integral(0,5(1-cos2x)cos(2nx)) <-(wie meinste dirket ablesen? ich erkenn nichts^^)
0,5(integralcos2nx+integralcos2x*cos2nx)(partielle integration?)

05.01.2013, 15:38

zyko

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Die Funktion f(x) hat jetzt bereits die gewünschte Form als Reihe aus cosinusTermen.
Denn es gilt $\begin{eqnarray*} \forall m,n \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi}\cdot \int_0^{\pi}\cos(nx)\cdot \cos(mx) dx =\delta_{nm}= \left\{\begin{array}{cl} 1 & \text{ falls } m=n \\ 0 & \text{ sonst} \end{array}\right. \end{eqnarray*}$ ,
also auch für n=0.

05.01.2013, 16:07

ifelx

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also in meinen fall:
integral(cos2x)cos(2nx))=1 wenn 2n=2 also n=1 ?

05.01.2013, 16:20

zyko

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Zitat:

Original von ifelx
also in meinen fall:
integral(cos2x)cos(2nx))=1 wenn 2n=2 also n=1 ?

Nur wenn du auch die Vorfaktoren $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$ mitberücksichtigst.
Aber auch
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}(1\cdot \cos(2nx))dx=1 \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} 2n=? \end{eqnarray*}$ ; denn für welche $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} 1=\cos(mx) \end{eqnarray*}$ ?