Symmetrische Matrix bestimmen

05.01.2013, 16:12

sevenelf

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Symmetrische Matrix bestimmen

Meine Frage:
Hallo,

meine Aufgabe:
Gesucht ist eine Matrix A $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R^{(2,2)} \end{eqnarray*}$ mit folgenden Eigenschaften: $\begin{eqnarray*} A = A^{T} \end{eqnarray*}$ , det(A) = 7, Spur(A) = 8, $\begin{eqnarray*} (1,1)^{T} \end{eqnarray*}$ ist ein Eigenvektor von A.

Meine Ideen:
Die Matrix muss eine symmetrische Matrix sein.

Kann mir jemand sagen, wie ich diese Aufgabe angehen soll?

Edit: Was ist denn "stuasjsrmz" für ein selten bescheuerter Titel? Geändert! Lg Iorek

05.01.2013, 16:25

weisbrot

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RE: stuasjsrmz
die matrix hat 4 einträge (zu bestimmen), du hast 4 gegebene bedingungen die diese erfüllen solln -> (edit: natürlich nicht: lineares) gleichungssystem lösen, wie in der schule.
lg

05.01.2013, 16:29

komplexer

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RE: stuasjsrmz
Eine 2x2 Matrix hat allgemein 4 Variablen, da sie symmetrisch ist nur noch 3. Mit den geforderten Bedingungen kannst Du Gleichungen aufstellen um dann ein Gleichungssystem zu lösen.
Ich zeige Dir mal die erste. Die Matrix sei:
$\begin{eqnarray*} A=\left(\begin{array}{cc} a & b\\ b & c \end{array}\right) \end{eqnarray*}$
Die Determinante soll den Wert 7 haben, also folgt:
$\begin{eqnarray*} \det A=ac-b^{2}=7 \end{eqnarray*}$
Jetzt kannst Du mit den anderen Bedingungen weitere Gleeichungen aufstellen.

05.01.2013, 17:31

Leopold

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Wenn $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ die Spur und $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ die Determinante ist, dann ist $\begin{eqnarray*} x^2 - \sigma x + \delta \end{eqnarray*}$ das charakteristische Polynom von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ . Damit kann man sofort die Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta \end{eqnarray*}$ der Matrix angeben. Da sie symmetrisch ist, gibt es eine Basis aus orthogonalen Eigenvektoren. Einer davon soll $\begin{eqnarray*} u = (1,1)^{\top} \end{eqnarray*}$ sein. Dann kann man für den andern $\begin{eqnarray*} v = (-1,1)^{\top} \end{eqnarray*}$ nehmen (das Skalarprodukt der Vektoren ist Null). Nehmen wir an, $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ sei der Eigenwert von $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ der von $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ , dann gilt somit

$\begin{eqnarray*} A \cdot u = \alpha u \, , \ \ A \cdot v = \beta v \end{eqnarray*}$

Bilden wir aus den beiden Spalten $\begin{eqnarray*} u,v \end{eqnarray*}$ die Matrix $\begin{eqnarray*} P = \begin{pmatrix} u & v \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und aus $\begin{eqnarray*} \alpha u, \beta v \end{eqnarray*}$ die Matrix $\begin{eqnarray*} Q = \begin{pmatrix} \alpha u & \beta v \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , so kann man das auch als Matrixgleichung schreiben:

$\begin{eqnarray*} A \cdot P = Q \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} A = Q \cdot P^{-1} \end{eqnarray*}$ .

05.01.2013, 17:40

Che Netzer

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Wen interessieren denn die Eigenwerte? Man erhält ein wunderbares Gleichungssystem, wenn man $\begin{eqnarray*} A\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\alpha\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ für irgendein $\begin{eqnarray*} \alpha\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ schreibt.

09.01.2013, 18:43

sevenelf

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Danke erstmal für die vielen Antworten geschockt

geschockt

So ich habe jetzt drei Gleichungen aufgestellt:

det(A) = ac-b² = 7
Spur(A) = a+c = 8

$\begin{eqnarray*} A\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie löse ich das Ganze jetzt? verwirrt

verwirrt

Könnte mir da jemand einen Tipp geben? Augenzwinkern

Augenzwinkern

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09.01.2013, 18:49

weisbrot

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aus der aussage mit dem eigenwert bekommst du auch noch eine gleichung (mach mal!) - die lösung sollte sich fast von selbst ergeben.
lg

10.01.2013, 15:49

sevenelf

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und die wäre? Erstaunt2

Erstaunt2

sorry, aber ich komm nich drauf unglücklich

unglücklich

10.01.2013, 17:00

Che Netzer

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Setze als erstes die allgemeine Form von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ in die Eigenwertgleichung ein.
Dann kannst du die beiden Zeilen einzeln betrachten.

11.01.2013, 19:04

sevenelf

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gut dann habe ich

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}<br /> <br /> -> ab(1) = \alpha(1)<br /> -> bc(1) = \alpha(1) \end{eqnarray*}$

wenn ich jetzt c = 8-a schreibe und das in a*c-b² einsetze, sowie eine der oben genannten Gleichungen auflöse und einsetze, ergibt das eine Riesen-Gleichung, die sich nicht wirklich einfach lösen lässt - eigentlich gar nicht Hilfe

Hilfe

Gibt es da keine einfachere Vorgehensweise?

11.01.2013, 19:10

weisbrot

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Zitat:

gut dann habe ich $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}<br /> <br /> -> ab(1) = \alpha(1)<br /> -> bc(1) = \alpha(1) \end{eqnarray*}$

ich glaube du hast vergessen wie matrixmultiplikation funktioniert - du bekommst da andere gleochungen.
und dann erstmal alle gleichungen hinschreiben und einen überblick bekommen und vllt sehen was sich leicht auflöst und nicht blind alles irgendwie einsetzen.
lg

12.01.2013, 12:41

Leopold

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Hier meine Lösung: $\begin{eqnarray*} x^2 - 8x + 7 = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ (x-1)(x-7) = 0 \end{eqnarray*}$

Somit sind $\begin{eqnarray*} \alpha = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta = 7 \end{eqnarray*}$ die Eigenwerte. Mit dem in meinem vorigen Beitrag geschilderten Verfahren erhält man:

$\begin{eqnarray*} A = Q \cdot P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -7 \\ 1 & 7 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -7 \\ 1 & 7 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Rollen von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ kann man vertauschen, so daß man eine weitere Lösung bekommt.

Auch das von den anderen vorgeschlagene elementare Verfahren führt natürlich zum Ziel. So oder so kommst du um quadratische Beziehungen nicht herum. Bei mir ist das ganz oben die charakteristische Gleichung, bei den anderen kommt das Quadrat bei der Determinantenbedingung ins Spiel. Insgesamt hast du dabei vier Variable $\begin{eqnarray*} a,b,c,\alpha \end{eqnarray*}$ . Und vier Gleichungen. Zwei hast du schon:

Zitat:

Original von sevenelf
det(A) = ac-b² = 7
Spur(A) = a+c = 8

Jetzt noch zwei weitere, indem du die Gleichung zeilenweise liest:

Zitat:

Original von sevenelf
$\begin{eqnarray*} A\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und wie man bei der Lösung herangeht, da hat weisbrot schon einige Tips gegeben.

12.01.2013, 18:27

sevenelf

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Hab die Aufgabe jetzt endlich gelöst smile

smile

Vielen, vielen Dank nochmal an alle, die mir geholfen haben Gott

Gott

12.01.2013, 18:33

Che Netzer

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Ich hoffe, du hast nicht einfach die Lösung von Leopold abgeschrieben...

13.01.2013, 15:01

sevenelf

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Nein, natürlich nicht, aber die Matrix ist die selbe Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.01.2013, 15:54

Leopold

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Zitat:

Original von sevenelf
Nein, natürlich nicht, aber die Matrix ist die selbe Augenzwinkern

Augenzwinkern

Es gibt ja nicht nur eine ... verwirrt

verwirrt

14.01.2013, 15:36

sevenelf

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Da hast du Recht Big Laugh

Big Laugh

Aber es war nur eine gesucht Wink

Wink

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