Galoiserweiterung / Zwischenkörper

05.01.2013, 15:45

Leopard

Galoiserweiterung / Zwischenkörper

Gegeben sind die Galoiserweiterungen

$\begin{eqnarray*} \mathrm{Gal_1}(L\ | \ K) \cong \mathbb Z/4\mathbb Z \times \mathbb Z/4\mathbb Z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathrm{Gal_2}(L\ | \ K) \cong \mathbb Z/2\mathbb Z \times \mathbb Z/2\mathbb Z \end{eqnarray*}$

Gesucht ist die Anzahl der echten Zwischenkörper. Bekanntlich gilt: $\begin{eqnarray*} [L:K] = | \mathrm{Gal}(L\ | \ K) | \end{eqnarray*}$ .

Wie finde ich raus was in den beiden konreten Fällen jeweils $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ sind?

05.01.2013, 17:24

zweiundvierzig

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RE: Galoiserweiterung / Zwischenkörper

Zitat:

Original von Leopard
Wie finde ich raus was in den beiden konreten Fällen jeweils $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ sind?

Es ist hinreichend, aber nicht notwendig diese Frage zu beantworten, siehe Umkehrproblem der Galoistheorie.

Tatsächlich geht es ja nur um:

Zitat:

Original von Leopard
Gesucht ist die Anzahl der echten Zwischenkörper.

Der Hauptsatz der Galoistheorie liefert Dir eine bijektive Korrespondenzen der Zwischenkörper der Erweiterung mit den Untergruppen der Galoisgruppen.

05.01.2013, 19:25

Leopard

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Deinem Hinweis auf dem Hauptsatz folgend ist es also eine Frage nach der Anzahl der echten Untergruppen.

$\begin{eqnarray*} \mathbb Z/4\mathbb Z \end{eqnarray*}$ hat drei Untergruppen und daher $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/4\mathbb Z \times \mathbb Z/4\mathbb Z \end{eqnarray*}$ 7 echte Untergruppen.

Analog für $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/2\mathbb Z \times \mathbb Z/2\mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Danke für Dein Tip!

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