Monotonie

05.01.2013, 18:56

Ascareth

Monotonie

Hallo,

wenn eine Funktion einen Vorzeichenwechsel (+/-) an einer Stelle x0 aufweist, dann ist für den Bereich um x0 einzusehen, dass diese Funktion monoton fallend ist. Warum bedeutet der Vorzeichenwechsel darüber hinaus aber auch, dass die Funktion in diesem Bereich streng monoton fallend ist?

Gruß, Asca

05.01.2013, 18:59

10001000Nick1

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Meinst du einen Vorzeichenwechsel von + nach - ?

05.01.2013, 19:02

Ascareth

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jap also von + nach - soll angeblich dann streng monoton fallend und von - nach + streng monoton steigend sein. aber warum streng, warum nicht nur monoton?

05.01.2013, 19:09

10001000Nick1

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Bei einem Vorzeichenwechsel von + nach - an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f(x_0)=0,\ f(x)>0\ fuer\ x<x_0\ und\ f(x)<0\ fuer\ x>x_0 \end{eqnarray*}$ . Daran sieht man jetzt eigentlich, warum die Funktion an der Stelle streng monoton fallend ist.

05.01.2013, 19:11

Iorek

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RE: Monotonie

Zitat:

Original von 10001000Nick1
Daran sieht man jetzt eigentlich, warum die Funktion an der Stelle streng monoton fallend ist.

Das stimmt so nicht, die strenge Monotonie lässt sich daraus nicht folgern, betrachte etwa $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R,~x\mapsto \begin{cases} -1 & x \leq 0 \\ 1 & x>0\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Diese Funktion hat einen Vorzeichenwechsel bei $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ , es existiert aber keine Umgebung um 0, in der die Funktion streng monoton steigend ist. Für die strenge Monotonie müsste die Funktion z.B. noch stetig sein.

05.01.2013, 19:14

Che Netzer

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Und wenn man auch noch $\begin{eqnarray*} \mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x\mapsto\begin{cases}x&x\in\mathbb Q\\2x&x\notin\mathbb Q\end{cases} \end{eqnarray*}$ betrachtet, merkt man, dass die Funktion nicht einmal (lokal) monoton sein muss.
Edit: Obwohl die Funktion sogar stetig im Nullpunkt ist, aber eben nicht auf einer ganzen Umgebung der Null.

05.01.2013, 19:14

Ascareth

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wie wäre das denn wenn an der stelle x0 ein sattelpunkt vorliegt?

bzw. woher weiß man, dass die funktion f(x) > 0 für x < x0 und f(x) < 0 für x > x0 ist.
bzw. woher weiß man, dass es nicht f(x) >= 0 für x < x0 und f(x) =< 0 für x > x0 sein kann?

PS: Da waren jetzt noch 2 Postings vor mir Augenzwinkern

Ich lasse die Frage trotzdem erstmal noch so stehen.
PPS: Ich sehe gerade, man sollte vielleicht noch erwähnen, dass es mir persönlich zunächst einmal um an der Stelle x0 differenzierbare Funktionen geht.

05.01.2013, 19:22

Iorek

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Zitat:

Original von Ascareth
bzw. woher weiß man, dass die funktion f(x) > 0 für x < x0 und f(x) < 0 für x > x0 ist.
bzw. woher weiß man, dass es nicht f(x) >= 0 für x < x0 und f(x) =< 0 für x > x0 sein kann?

Da muss man jetzt mit der Schreibweise aufpassen. Ich nehme an, wir reden über eine beliebige Kurvendiskussion, die du durchgeführt hast? In dem Fall ist die Funktion differenzierbar und somit insbesondere auch stetig. Zwar ist auch dann nicht die strenge Monotonie für die gesamte Funktion gegeben, aber zumindest in einer kleinen Umgebung um den Vorzeichenwechsel ist die Funktion dann streng monoton. Es ist also dann nicht $\begin{eqnarray*} f(x)>0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x>x_0 \end{eqnarray*}$ (bzw. $\begin{eqnarray*} f(x)<0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x>x_0 \end{eqnarray*}$ wenn es monoton fallend sein soll), es existiert lediglich ein (kleines) Intervall $\begin{eqnarray*} [a;b] \end{eqnarray*}$ , auf dem diese Aussage gilt und die Funktion streng monoton ist.

05.01.2013, 19:25

Che Netzer

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Zitat:

Original von Ascareth
PPS: Ich sehe gerade, man sollte vielleicht noch erwähnen, dass es mir persönlich zunächst einmal um an der Stelle x0 differenzierbare Funktionen geht.

Dann bin ich mal gemein und gebe
$\begin{eqnarray*} x\mapsto\begin{cases}x^3&x\in\mathbb Q\\2x^3&x\notin\mathbb Q\end{cases} \end{eqnarray*}$
an Teufel

05.01.2013, 19:25

Ascareth

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Ok, ich sehe wir nehmen besser ein Beispiel:

f(x) = 4x³ - 4 hat bei 1 eine Nullstelle mit VZW von - nach +, ist also angeblich streng monoton steigend. Woraus ergibt sich jetzt aber die zwingende Folgerung, dass es eine streng monotone steigung und nicht lediglich eine monotone steigung sein kann?

PS: Das mit dem kleinen Intervall - genau so ist es gemeint. Und ja, es handelt sich um eine allgemeine Kurvendiskussion. "Einführung in die Differenzialrechnung"

05.01.2013, 19:26

10001000Nick1

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OK, ihr habt Recht. Da hab ich wohl nicht genug überlegt. Aber da wir hier im forum für Schulmathematik sind, bin ich davon ausgegangen, dass die Funktionen nicht zu kompliziert sind (z.B. unstetig an der Nullstelle).

05.01.2013, 19:28

Che Netzer

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
(z.B. unstetig an der Nullstelle).

Mein letztes Beispiel war in der Nullstelle sogar differenzierbar Augenzwinkern

Aber ja, man kann/sollte wohl die Differenzierbarkeit oder zumindest Stetigkeit der gesamten Funktion annehmen.

05.01.2013, 19:30

Ascareth

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
... Aber da wir hier im forum für Schulmathematik sind, bin ich davon ausgegangen, dass die Funktionen nicht zu kompliziert sind (z.B. unstetig an der Nullstelle).

Genauso ist das auch gemeint. Aber was ist schon kompliziert und einfach - ist halt für jeden was anderes. Augenzwinkern

Trotzdem kann ich aus deiner Erklärung nicht erkennen, warum es sich zwingend um strenge monotonie handeln muss.

05.01.2013, 19:32

Ascareth

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Zitat:

Original von Che Netzer
Aber ja, man kann/sollte wohl die Differenzierbarkeit oder zumindest Stetigkeit der gesamten Funktion annehmen.

Bezieh dich doch noch mal eben kurz auf das Beispiel. Warum ist die Funktion in der Nullstelle zwingend streng monoton und nicht nur monoton?

Also für f(x) = 4x³ - 4 und einer Nullstelle bei 1 mit VZW von - nach +

05.01.2013, 19:33

Bakatan

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Kurze Zwischenfrage
Die Diskussion ist für mich interessant und ich frage mich, ob Stetigkeit wirklich bereits ausreicht, was ist z.B. mit brownschen Pfaden? Ich kenne mich mit diesen zwar nicht wirklich aus sondern habe nur kurz von ihnen gehört (also bitte bei Erklärungen nicht zuviel als gegeben voraussetzen Big Laugh

), erscheinen mir aber fast wie ein Gegenbeispiel? Diese können doch auch Vorzeichenwechsel durchführen, sind stetig allerdings nicht monoton in jedem Intervall?
http://homepage.univie.ac.at/irene.klein/stoch_5.pdf Seite 2

05.01.2013, 19:35

10001000Nick1

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Meinst du f(x)=4x³-4? Wenn du die erste Ableitung bildest, hast du f'(x)=12x². Das ist bei x=1 größer als 0. Damit ist auch die Steigung an der Nullstelle gröer als 0 und damit ist f streng monoton steigend.

05.01.2013, 20:28

Che Netzer

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RE: Kurze Zwischenfrage

Zitat:

Original von Bakatan
Die Diskussion ist für mich interessant und ich frage mich, ob Stetigkeit wirklich bereits ausreicht

Nein, siehe z.B.
$\begin{eqnarray*} x^2\mapsto x\lvert\sin(\tfrac1x)+x\rvert\,. \end{eqnarray*}$
Natürlich stetig fortgesetzt per $\begin{eqnarray*} 0\mapsto0 \end{eqnarray*}$ .

05.01.2013, 21:29

Ascareth

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Noch mal ganz von vorn bitte. Ich habe hier eine Lektion, die eben die Einführung in die Differentialrechnung behandelt. Wenn hier jemand was über irgendwelche Bänder wissen will, dann mach einen eigenen Thread auf. Das hat hiermit nix zu tun!

Also es heißt:

Hat f an der Stelle x0 einen hochpunkt, dann bedeutet das für f', dass f'(x0) = 0 ist; f' hat also dort eine Nullstelle, und zwar eine mit VZW (+ nach -). Das bedeutet, dass f' in der Umgebung der Stelle x0 streng monoton fallen muss, da die Ableitung aus dem Positiven kommt und ins Negative geht.

Meine Frage zielt auf das kursiv formatiert ab. Warum ist so, dass f' in der Umgebung der Stelle x0 streng monoton fallen, also woher weiß man das? Es könnte doch auch sein, dass f' dort lediglich monoton fällt. Das ist aber wohl nicht so, nur wie kann man das begründen?

05.01.2013, 21:53

Che Netzer

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Zitat:

Original von Ascareth
Hat f an der Stelle x0 einen hochpunkt, dann bedeutet das für f', dass f'(x0) = 0 ist; f' hat also dort eine Nullstelle, und zwar eine mit VZW (+ nach -). Das bedeutet, dass f' in der Umgebung der Stelle x0 streng monoton fallen muss, da die Ableitung aus dem Positiven kommt und ins Negative geht.

Stimmt überhaupt nicht, auch wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist.
Man kann $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ konstant wählen; dann hat $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ überall Hochpunkte, die Ableitung ist aber ganz sicher nicht streng monoton, sondern nur monoton.

Und wenn ich in obiger Abbildung
$\begin{eqnarray*} g\colon\mathbb R\to\mathbb R\,,\ x\mapsto x\lvert\sin(\tfrac1x)+x\rvert \end{eqnarray*}$
keinen Denkfehler habe, kann man $\begin{eqnarray*} f(x)=\int_0^xg(\xi)\dd\xi \end{eqnarray*}$ definieren. Dann hat $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ einen Tiefpunkt in $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , die Ableitung ist aber in keiner Umgebung von Null monoton.

Und welche Bänder meinst du? verwirrt

06.01.2013, 15:52

Ascareth

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Hm das ist komisch. Aber vielleicht denkst du dabei zu kompliziert? Das ist nur eine Vermutung. So sehr bin ich mit dem Thema noch nicht vertraut. Im Prinzip handelt es sich dabei lediglich um eine ganz simple Regel, die so auch definitiv funktioniert. Hier noch einmal die Regel:

Eine Funktion f hat an der Stelle x0 einen relativen Hochpunkt (HP). f ' hat an der Stelle x0 den Wert 0. Der Vorzeichenwechsel für f ', bezogen auf eine Umgebung von x0, muss also von + nach - verlaufen. f '' hat also in der Umgebung einen Wert < 0 . Das ist eigentlich alles und das funktioniert auch so Augenzwinkern

Die Begründung allerdings verstehe ich nicht so ganz. Es wird nämlich gesagt, dass weil f ' aus dem Positiven kommt und ins Nevative geht, f ' streng monoton fallen muss.

Das f ' natürlich in der Umgebung von x0 fallen muss, ist mir zumindest klar und ich denke da sind wir uns einig. Das dieses Gefälle aber streng monoton (also f ' (x2) < f ' (x1) ) sein muss und nicht eben auch lediglich monoton (also f ' (x2) <= f ' (x1) ) sein kann, dass verstehe ich nicht so ganz. Für mich geht das aus dem Zusammenhang nicht hervor. Und ich glaube dazu hattest du gesagt, dass dies eben auch nicht so sein muss. Verstehe ich dich da richtig?

06.01.2013, 16:04

Che Netzer

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Zitat:

Original von Ascareth
Eine Funktion f hat an der Stelle x0 einen relativen Hochpunkt (HP). f ' hat an der Stelle x0 den Wert 0. Der Vorzeichenwechsel für f ', bezogen auf eine Umgebung von x0, muss also von + nach - verlaufen. f '' hat also in der Umgebung einen Wert < 0 .

$\begin{eqnarray*} f'' \end{eqnarray*}$ muss keineswegs negativ sein, das widerlegt z.B. $\begin{eqnarray*} x^6 \end{eqnarray*}$ o.ä.
Und schon gar nicht muss $\begin{eqnarray*} f'' \end{eqnarray*}$ in einer ganzen Umgebung negativ sein. $\begin{eqnarray*} f'' \end{eqnarray*}$ muss ja nicht einmal existieren! Das muss im allgemeinen auch $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ nicht.

Zitat:

Das f ' natürlich in der Umgebung von x0 fallen muss, ist mir zumindest klar und ich denke da sind wir uns einig.

Nein, da habe ich das letzte Gegenbeispiel gebracht. Die Ableitung von diesem $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist in keiner Umgebung von Null monoton, obwohl $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in Null ein Minimum hat (meinetwegen betrachtet man $\begin{eqnarray*} -f \end{eqnarray*}$ mit Hochpunkt).

Zitat:

Das dieses Gefälle aber streng monoton (also f ' (x2) < f ' (x1) ) sein muss und nicht eben auch lediglich monoton (also f ' (x2) <= f ' (x1) ) sein kann, dass verstehe ich nicht so ganz. Für mich geht das aus dem Zusammenhang nicht hervor. Und ich glaube dazu hattest du gesagt, dass dies eben auch nicht so sein muss. Verstehe ich dich da richtig?

Ja, das muss überhaupt nicht sein. Wie gesagt, $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ muss nicht einmal monoton sein.
Irgendwelche Voraussetzungen fehlen da.

06.01.2013, 16:18

Ascareth

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Also jetzt habe ich dir mal die zugehörige Beschreibung gescannt Augenzwinkern

. Was sagst du dazu?

[attach]27664[/attach]

06.01.2013, 16:26

Che Netzer

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Woher stammt das denn? Und was stand vor diesem Absatz dort?

Jedenfalls ist das eigentlich völliger Unsinn.

1. Nicht jede Funktion muss an ihren Extremstellen differenzierbar sein.
2. Eine Funktion kann nicht "an einer Stelle" (streng) monoton sein.
3. Die Ableitung muss auch nicht in einer Umgebung einer Maximalstelle monoton sein, wenn sie existiert.
4. Schon gar nicht muss sie streng monoton sein.
5. Auch die zweite Ableitung muss nicht existieren.
6. Der Monotoniesatz liefert keineswegs, dass die Ableitung streng monoton fallender differenzierbarer Funktionen immer negativ ist. D.h. die zweite Ableitung muss an Maximalstellen nicht negativ sein.

Der Absatz stimmt nicht einmal, wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ein Polynom ist böse

Wie gesagt, mich würden mal die Quelle und die gesamte Seite interessieren.

06.01.2013, 16:35

Ascareth

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Also ich kann das nur bedingt (eigentlich gar nicht) einschätzen, sondern eher nur raten. Aber könnte es sein, dass Funktionen die an ihren Extremstellen nicht differenzierbar sind, möglicherweise nicht unmittelbar in den Bereich der "Einführung in die Differentialrechnung" gehören?

Ich zumindest würde es merkwürdig finden, wenn man Funktionen, die in ihren Extrempunkten nicht differenzierbar sind, für die Veranschaulichung im Rahmen einer Einführung in die Differentialrechnung verwendet. Augenzwinkern

Ich kann hier auch leider nicht das ganze Heft einscannen. Ich würde sagen belassen wir es einfach erstmal dabei. Dann muss ich eben mit einem gewissen Unsicherheitsfaktor leben und das teilweise ersteinmal als gegeben hinnehmen. Kann man ja manchmal nicht ändern glaub ich.

PS: Ich bekomme hier auch nicht einmal die gesamte Seite rein. Weil das hier nur bis 80kb geht.

06.01.2013, 16:39

Che Netzer

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Nicht differenzierbare Funktionen sollte man kurz nach Einführung der Differentialrechnung als Gegenbeispiel geben.
Aber man sollte auf keinen Fall so tun, als sei jede Funktion differenzierbar. Und der Absatz ist wie gesagt auch für Polynome falsch.
Wurden vorher denn irgendwelche Anforderungen an $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gestellt?

Wenn nicht, dann kannst du dich ja bei dem beschweren, von dem du das Heft hast.
Wobei ich eigentlich hoffe, dass das kein offizielles Schulheft ist...

06.01.2013, 17:08

Ascareth

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Hmm kennst du ein gutes, offizielles Schulheft / Buch zu diesem Thema? Keine Studieninhalte, lediglich Oberstufe, aber eben auch nicht ausschließlich für Leistungskurse, sondern eben auch für Anfänger geeignet.

06.01.2013, 17:10

Che Netzer

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Nein, unser Schulbuch hatte auch ein paar unschöne Formulierungen...
Frag hier am besten mal im Literaturbereich nach, es gibt sicher einige Empfehlungen.

06.01.2013, 18:11

Iorek

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Der Ausschnitt aus dem Buch sieht mir so aus, als würde er die hinreichende Bedingung für Hochpunkte motivieren wollen; $\begin{eqnarray*} f'(x_0)=0 \wedge f''(x_0)<0 \end{eqnarray*}$ . Mit vielen Augen zugedrückt, stimmt das was da steht also für die in der Schule üblichen Funktionen.

@Che Netzer, was man einführen sollte unterscheidet sich in der Schule stark von dem, was man einführen kann; zeitlich wie inhaltlich. Nicht differenzierbare Funktionen kommen nur äußerst selten vor.

06.01.2013, 18:39

Che Netzer

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Zitat:

Original von Iorek
Mit vielen Augen zugedrückt, stimmt das was da steht also für die in der Schule üblichen Funktionen.

Naja, nicht einmal konstante Funktionen oder $\begin{eqnarray*} x\mapsto x^4 \end{eqnarray*}$ erfüllen die beiden Bedingungen...

Zitat:

@Che Netzer, was man einführen sollte unterscheidet sich in der Schule stark von dem, was man einführen kann; zeitlich wie inhaltlich. Nicht differenzierbare Funktionen kommen nur äußerst selten vor.

Man sollte aber zumindest anmerken, dass die Ableitung nicht immer existiert, ggf. am Beispiel der Betragsfunktion. Ausführlicher muss man das ja gar nicht machen, aber anzunehmen, dass alle Funktionen genau so sind, wie man sie gerne hätte, ist nicht einfach eine Vereinfachung, sondern schlicht falsch.

Wobei Fragen wie "Für welche $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ ist ... in $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar?" aber gar nicht so selten sind, oder? verwirrt

06.01.2013, 19:12

Iorek

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Wenn man $\begin{eqnarray*} f'' <0 \end{eqnarray*}$ für alle bis auf endlich viele Punkte verlangt, dann dürfte es doch stimmen und auch mit $\begin{eqnarray*} x\mapsto x^4 \end{eqnarray*}$ passen. Ob das jetzt so gemeint sein soll...

Und die von dir angesprochene Frage ist mir in meiner Schullaufbahn und später bzw. aktuell als Nachhilfelehrer noch nicht untergekommen.

06.01.2013, 20:21

Che Netzer

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Zitat:

Original von Iorek
Wenn man $\begin{eqnarray*} f'' <0 \end{eqnarray*}$ für alle bis auf endlich viele Punkte verlangt, dann dürfte es doch stimmen und auch mit $\begin{eqnarray*} x\mapsto x^4 \end{eqnarray*}$ passen. Ob das jetzt so gemeint sein soll...

$\begin{eqnarray*} f''<0 \end{eqnarray*}$ fast überall folgt aber auch nur aus strenger Monotonie von $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ und dessen Differenzierbarkeit. Für konstante Funktionen gilt das trotzdem nicht.
Naja, vielleicht bezog sich der Abschnitt ja auf Polynome vom Grad Zwei oder größer, andere Funktionen betrachten manche Grundkurse ja gar nicht, wenn es um Extremwerte geht.

Zitat:

Und die von dir angesprochene Frage ist mir in meiner Schullaufbahn und später bzw. aktuell als Nachhilfelehrer noch nicht untergekommen.

Hm, komisch. Liegt vielleicht am Bundesland; an meiner Schule hatten alle Kurse solche Aufgaben und sonst habe ich die auch oft gesehen.

06.01.2013, 20:47

Iorek

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Zitat:

Original von Che Netzer
$\begin{eqnarray*} f''<0 \end{eqnarray*}$ fast überall folgt aber auch nur aus strenger Monotonie von $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ und dessen Differenzierbarkeit. Für konstante Funktionen gilt das trotzdem nicht.
Naja, vielleicht bezog sich der Abschnitt ja auf Polynome vom Grad Zwei oder größer, andere Funktionen betrachten manche Grundkurse ja gar nicht, wenn es um Extremwerte geht.

Dass der Abschnitt sehr fragwürdig ist, habe ich ja nie bestritten. Augenzwinkern

Es ist leider so, dass in vielen (vor allem älteren) Mathebüchern richtig dicke Fehler sind; da ist diese halbgare Aussage noch eins der kleinen Probleme.

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