Trigonometrische Beziehung beweisen

05.01.2013, 19:39

Goldbaer08

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Trigonometrische Beziehung beweisen

Hallo

Wink

,

vielleicht könnt ihr mir weiter helfen und zwar hänge ich seit geraumer Zeit an einer Aufgabe und mir fehlt völlig der Ansatz zum Herrangehen.
Im Interner finde ich zwar immer wieder Seiten auf denen die Behauptung als wahr abgestempelt wird, allerdings fehlt mir da immer ein nachvollziehbarer und somit für mich nachhaltiger Lösungsweg unglücklich

unglücklich

.

Nun zu der Aufgabe:
`Zeigen Sie, daß gilt : sin^2 (2x)+cos(3x)+cos(x)=cos^2 (x)`

Vielen Dank schonmal im Vorraus!

05.01.2013, 20:03

10001000Nick1

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Kennst du die Eulerschen Formeln für sin und cos? Einfach einsetzen und umformen.
Soll das auf der rechten Seite die 1. Ableitung von $\begin{eqnarray*} cos^2(x) \end{eqnarray*}$ sein?

05.01.2013, 20:07

Goldbaer08

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Hallo,
danke für die schnelle Antwort.
Nein, $\begin{eqnarray*} cos^2(x) \end{eqnarray*}$ ist wohl das Ergebnis, das es zu beweisen gilt.

Gehört habe ich von der Formel schonmal, wie gesagt, mir fehlt leider der komplette Ansatz Hammer

Hammer

!

Würdest du mir wohl auf die Sprünge helfen?

MfG

05.01.2013, 20:17

10001000Nick1

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Also: Laut diesen Formeln ist $\begin{eqnarray*} sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} cos(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \end{eqnarray*}$ (siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Formel). Das setzt du dann ein in die Gleichung, die du beweisen sollst. Durch Umformungen müsstest du dann zeigen können, dass die Gleichung wahr ist.
Fertig! smile

smile

Was bedeutet eigentlich der Strich auf der rechten Seite der Gleichung? Oder war das nur versehentlich?

05.01.2013, 20:22

Goldbaer08

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Danke, aber die ??? sind jetzt noch größer als vorher geschockt

geschockt

.

Bis jetzt hab ich´s immer nur über die Formel aus der Papula Formelsammlung probiert, konnte ein wenig rechnen und habe dann irgendwann festgestellt, dass ich mich im Kreis drehe.

Wenn du mir sagen könntest, wie ich die einzelnen Therme einsetzen soll, würdest du mir nocheinmal unheimlich weiter helfen!

Ach, der Strich war zum Zitieren da Augenzwinkern

Augenzwinkern

!

05.01.2013, 20:25

Mystic

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Ich würde alles auf Potenzen von Cosinüssen umschreiben, was hier leicht möglich ist, z.B.

$\begin{eqnarray*} \sin²(2x)=(2\sin(x)\cos(x))^2=4\sin²(x)\cos²(x)=4(1-\cos²(x))\cos²(x) \end{eqnarray*}$

Für cos(3x) soltest dich vorher selber anstrengen, bevor ich dir weiterhelfe...

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05.01.2013, 20:31

10001000Nick1

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Ich hatte einen Fehler: $\begin{eqnarray*} cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \end{eqnarray*}$

05.01.2013, 20:38

10001000Nick1

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$\begin{eqnarray*} \left(\frac{e^{i\cdot 2x}-e^{-i\cdot 2x}}{2i} \right)^2 + \frac{e^{i\cdot 3x}+e^{-i\cdot 3x}}{2}+\frac{e^{ix}+ e^{-ix}}{2}=\left(\frac{e^{ix}+ e^{-ix}}{2}\right)^2 \end{eqnarray*}$ . Müsste jetzt so stimmen. Da musst du noch umformen und zusammenfassen, bis dann beide Seiten gleich sind.

05.01.2013, 21:24

Goldbaer08

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Danke 10001000Nick1 für die Ausführung.

Allerdings sieht meine Lösung für mich auch recht unwirklich aus und hat alles eher kompliziertert gemacht.

@Mystic
Wie kommst du auf diese Ausführung:
4(1-\cos²(x))\cos²(x)[/latex]?

Wenn ich nach meinen Formel gehe habe ich da was von 1/2 (1-cos(4x)) stehen unglücklich

unglücklich

05.01.2013, 21:27

Goldbaer08

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Achja,

für cos(3x) habe ich 4*cos³(x)-3+cos(x).

Soweit war ich ja schonmal, das hat mir alles nur nicht richtig weiter geholfen unglücklich

unglücklich

!

05.01.2013, 21:49

10001000Nick1

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Weißt du was? Der ganze thread ist sinnlos. Ich hab gerade gemerkt, dass die Gleichung gar nicht stimmt. Also kannst du auch nichts beweisen. Ich hab eben mal ein paar Werte eingesetzt, aber da kommt rechts und links was unterschiedliches raus.

05.01.2013, 21:52

Goldbaer08

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Fuck,
du hast recht:
sin^2 (2x)+cos(3x)*cos(x)=cos^2 (x) ist die richtige Gleichung.

Hat die Umschalttaste wohl nicht funktioniert Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

05.01.2013, 21:58

Mystic

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Zitat:

Original von Goldbaer08
Achja,

für cos(3x) habe ich 4*cos³(x)-3+cos(x).

Soweit war ich ja schonmal, das hat mir alles nur nicht richtig weiter geholfen unglücklich

unglücklich

!

Kein Wunder, denn es ist ja auch

cos(3x)=4cos³(x)-3cos(x)

05.01.2013, 22:05

Goldbaer08

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Ja, stimmt, mal wieder vertippt unglücklich

unglücklich

!

Und wie kann ich das ganze jetzt auflösen?

05.01.2013, 22:34

Mystic

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Indem du das zusammen mit obigem Ausdruck für sin²(2x) in die linke Seite der zu beweisenden Gleichung einsetzt... Wenn dabei cos²(x) rauskommt, dann passt's...

05.01.2013, 22:38

Goldbaer08

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Okay,
aber ich kann einfach nichts mit der Umformung von sin²(2x)= 1/2 1-cos(4x) anfangen.

Sorry, aber wir haben sowas noch nie ausführlich behandelt!

05.01.2013, 22:43

Mystic

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Zitat:

Original von Goldbaer08
Okay,
aber ich kann einfach nichts mit der Umformung von sin²(2x)= 1/2 1-cos(4x) anfangen.

Wo in aller Welt hast du die her?... verwirrt

verwirrt

Ich hatte oben geschrieben

Zitat:

Original von Mystic
$\begin{eqnarray*} \sin²(2x)=(2\sin(x)\cos(x))^2=4\sin²(x)\cos²(x)=4(1-\cos²(x))\cos²(x) \end{eqnarray*}$

05.01.2013, 22:47

Goldbaer08

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Aus meinem Büchlein traurig

traurig

- danke für die Korrektur Gott

Gott

Bis 4 sin²(x)cos²(x) kann ich dir jetzt folgen, allerdings bleibt mir noch unschlüssig wie du dann auf 1-cos²(x) kommst verwirrt

verwirrt

.

05.01.2013, 23:20

Mystic

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Hm, noch nie was vom sog. trigonometrischen Pythagoras sin²(x)+cos²(x)=1 gehört... verwirrt

verwirrt

05.01.2013, 23:25

Goldbaer08

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Doch, habe ich und ich warte schon die ganze Zeit drauf, das in der Aufgabe anzuwenden.
Allerdings fehlt verwirrt

verwirrt

mir bis jetzt noch die Herleitung bis zu dem Punkt, an dem ich es einsetzen kann unglücklich

unglücklich

!.

Wolfram Alpha sagt mir auch nur, dass 4 sin²(x)cos²(x) oder halt 1/2 (1-cos(4x)) raus kommt...

Würdest du mir wohl die Aufgabe einmal durchrechnen, meist fällt der Stein dann bei mir!

05.01.2013, 23:31

Goldbaer08

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Aufgabe

06.01.2013, 12:45

Mystic

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Zitat:

Original von Goldbaer08
Würdest du mir wohl die Aufgabe einmal durchrechnen, meist fällt der Stein dann bei mir!

Noch einmal: Es soll

$\begin{eqnarray*} \sin^2(2x)+\cos(3x)*\cos x=\cos^2 x \quad (*) \end{eqnarray*}$

gezeigt werden und ich habe auch schon gesagt, dass man dafür nur noch

$\begin{eqnarray*} \sin^2(2x)=4(1-\cos^2 x)\cos^2 x \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \cos(3x)=4\cos^3 x-3 \cos x \end{eqnarray*}$

in die linke Seite von (*) einsetzen muss, um die rechte Seite zu erhalten, was bereits 99% der Aufgabe sind... Und du verlangst von mir allen Ernstes, dass ich auch die restlichen 1% noch vorrechnen soll... Darauf sage ich nur eines: NEIN!!!... Finger1

Finger1

unglücklich

Forum Kloppe

06.01.2013, 13:21

Goldbaer08

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Nein, das verlange ich nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Mir allerdings noch immer unschlüssig, wie man von sin²(2x) auf $\begin{eqnarray*} \sin^2(2x)=4(1-\cos^2 x)\cos^2 x \end{eqnarray*}$ kommt!

Wenn ich nach meiner Formelsammung gehe, dann kommt da 1/2 (1-cos(4x)) raus unglücklich

unglücklich

Odewr muss ich nach den Formeln für doppelte Winkel gehen und hätte dann
sin²(2x)= 4 sin²(x)*cos²(x)?

06.01.2013, 13:21

Goldbaer08

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Wie löscht man sowas?

06.01.2013, 13:35

Mystic

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Zitat:

Original von Goldbaer08
Nein, das verlange ich nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Mir allerdings noch immer unschlüssig, wie man von sin²(2x) auf $\begin{eqnarray*} \sin^2(2x)=4(1-\cos^2 x)\cos^2 x \end{eqnarray*}$ kommt!

Wenn ich nach meiner Formelsammung gehe, dann kommt da 1/2 (1-cos(4x)) raus unglücklich

unglücklich

Odewr muss ich nach den Formeln für doppelte Winkel gehen und hätte dann
sin²(2x)= 4 sin²(x)*cos²(x)?

"Formelsammlung" ist gut, oben hattest du noch von WolframAlpha gesprochen... geschockt

geschockt

Und diesen Punkt hatten wir doch auch schon längst geklärt, denn es ist doch

$\begin{eqnarray*} \sin^2(2x)=(2 \sin x \cos x)^2= 4\underbrace{\sin^2 x}_{1-\cos^2x} \cos^2 x=4 (1-\cos^2 x)\cos^2 x \end{eqnarray*}$
Weiter oben sagtest du noch, dass dir der "trigonometrische Pythagoras"

$\begin{eqnarray*} \sin^2 x + \cos^2 x =1 \end{eqnarray*}$

wohlbekannt sei, aber genau den habe ich doch hier bei der Unterklammerung angewandt oder erkennst du in dieser leicht abgewandelten Form wirklich nicht wieder? verwirrt

verwirrt

06.01.2013, 14:52

Goldbaer08

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, danke smile

smile

.
Allerdings ergibt sin²(x) lt. meiner FormelsammLung 1/2 (1-cos (2x)) und nicht 4(1-cos²(x))cos²(x) Hammer

Hammer

Ich bin jetzt soweit : 4sin^2(x)*cos^2(x)+(4cos^3(x)-3cos(x))*cos(x)!

Jetzt stellt sich mir aber die Frage, wie bekomme ich 4cos^3(x)-3cos(x) weg, ohne mich im Kreis zu drehen´?

06.01.2013, 15:30

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Goldbaer08
Okay, danke smile

smile

.
Allerdings ergibt sin²(x) lt. meiner FormelsammLung 1/2 (1-cos (2x)) und nicht 4(1-cos²(x))cos²(x) Hammer

Hammer

Das habe ja auch ich nicht behauptet... Schließlich geht es ja um sin²(2x) und nicht um sin²(x)... unglücklich

unglücklich

Zitat:

Original von Goldbaer08
Ich bin jetzt soweit : 4sin^2(x)*cos^2(x)+(4cos^3(x)-3cos(x))*cos(x)!

Langsam kann ich nicht mehr daran glauben, dass du wirklich ernst meinst, was du da schreibst, oder ob du mich einfach nur vera...en willst... unglücklich

unglücklich

Falls Letzteres wider Erwarten doch nicht zutreffen sollte, hier noch einmal (zum wievielten Male eigentlich?) die Substitution für sin²(2x):

Zitat:

Original von Mystic
$\begin{eqnarray*} \sin^2(2x)=4(1-\cos^2 x)\cos^2 x \end{eqnarray*}$

06.01.2013, 15:45

Goldbaer08

Auf diesen Beitrag antworten »

Um Gottes Willen, verar***en will ich hier niemanden!

Mag zwar sein, dass die Substitution richtig ist- für mich aber leider aufgrund meiner Formelsammlung nicht nachvollziehbar.
sin²(2x) ergibt doch auch (2+sin(x)*cos(x))² und das wäre für mich nachvollziehbar.

Ich bin doch jetzt soweit und stehe nur noch vor der Aufgabe 4*cos³(x)-3cos(x) zu lösen- ich komme da einfach auf keine vernünftige Antwort und drehe mich nach und nach im Kreis unglücklich

unglücklich

.

Vielen Dank schonmal für die ganze Geduld!

06.01.2013, 16:06

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Goldbaer08
Mag zwar sein, dass die Substitution richtig ist- für mich aber leider aufgrund meiner Formelsammlung nicht nachvollziehbar.
sin²(2x) ergibt doch auch (2+sin(x)*cos(x))² und das wäre für mich nachvollziehbar.

Erstens ist diese Gleichung so unglaublich falsch, dass ich jetzt nich mehr an einen Zufall glauben kann, zweitens habe ich die Herleitung der Formel

sin²(2x)=4 (1-cos²(x)) cos²(x)

oben schon ausführlich erklärt, sodass ich mich nur wiederholen könnte... Bitte bei Bedarf, einfach im Thread nachlesen...

Zitat:

Original von Goldbaer08
Ich bin doch jetzt soweit und stehe nur noch vor der Aufgabe 4*cos³(x)-3cos(x) zu lösen- ich komme da einfach auf keine vernünftige Antwort und drehe mich nach und nach im Kreis unglücklich

unglücklich

.

Da gibt es nichts zu "lösen", diesen Ausdruck muss man für cos(3x) so einsetzen, wie er ist...

Zitat:

Original von Goldbaer08
Vielen Dank schonmal für die ganze Geduld!

Welche nun leider wirklich zur Gänze aufgebraucht ist, sorry... Wink

Wink

06.01.2013, 16:09

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Goldbaer08
Mag zwar sein, dass die Substitution richtig ist- für mich aber leider aufgrund meiner Formelsammlung nicht nachvollziehbar.
sin²(2x) ergibt doch auch (2+sin(x)*cos(x))² und das wäre für mich nachvollziehbar.

Du hast da einfach + statt * geschrieben.
$\begin{eqnarray*} \sin^2(2x)=(2\sin(x)\cos(x))^2 \end{eqnarray*}$ kannst du dann also wohl nachvollziehen. Jetzt musst du nur die Potenz auf die einzelnen Faktoren verteilen und den "trigonometrischen Pythagoras" anwenden, um Mystics Substitution zu erhalten.

06.01.2013, 16:17

Goldbaer08

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Ja, stimmt- blöde Umstelltaste-, so habe ich es ja auch hier stehen und jetzt ist´s nachvollziehbar, danke smile

smile

.

Jetzt habe ich nur noch immer das Problem, dass ich ... + (4*cos³(x)-3*cos(x))*cos(x) nicht weg bekomme, wenn ich versuche 4*cos³(x) umzuformen drehe ich mich im Kreis und habe hinterher wieder cos(3x) hier stehen.

Lt. meinem Prof sieht das hinterher so aus :
4sin^2(x)*cos^2(x)+(4cos^3(x)-3cos(x))*cos(x)=
4cos^2(x)*(sin^2(x)+cos^2(x))-3*cos^2(x)=
4cos^2(x)-3cos^2(x)=
cos^2(x)

Allerdings komme ich aus dem zweiten Teil nicht auf
cos²(x)-3*cos²(x) Hammer

Hammer

Hammer

Hammer

06.01.2013, 16:21

Che Netzer

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Zitat:

Original von Goldbaer08
Jetzt habe ich nur noch immer das Problem, dass ich ... + (4*cos³(x)-3*cos(x))*cos(x) nicht weg bekomme

Brauchst du auch gar nicht.
Bist du inzwischen bei
$\begin{eqnarray*} 4(1-\cos^2(x))\cos^2(x)+(4\cos^3(x)-3\cos(x))\cos x\,? \end{eqnarray*}$
Wenn ja, dann mutipliziere einfach mal alles aus und fasse zusammen.

Die Musterlösung geht einen leicht anderen Weg, machen wir lieber mal mit dem bisherigen weiter.

06.01.2013, 16:26

Goldbaer08

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Ja, bin ich und ich hab´s nachvollzogen.

Wenn ich mich jetzt nicht irre, dann müsste das hinterher

4 cos²(x)-4cos^4(x)+4cos^4(x)-3cos²(x) =
4 cos²(x)-3cos²(x)=
cos²(x)

sein?!

06.01.2013, 16:28

Che Netzer

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Geht doch

Freude

06.01.2013, 16:30

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, bis zum bitteren Ende ignorierst du meine Anleitung

Zitat:

Original von Mystic
Es soll

$\begin{eqnarray*} \sin^2(2x)+\cos(3x)*\cos x=\cos^2 x \quad (*) \end{eqnarray*}$

gezeigt werden und ich habe auch schon gesagt, dass man dafür nur noch

$\begin{eqnarray*} \sin^2(2x)=4(1-\cos^2 x)\cos^2 x \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \cos(3x)=4\cos^3 x-3 \cos x \end{eqnarray*}$

in die linke Seite von (*) einsetzen muss, um die rechte Seite zu erhalten

und gehst irgendwelchen anderen Wegen nach... unglücklich

unglücklich

Meine (nun wirklich aller)letzte Tat hier ist, meine eigenen Ausführungen oben noch zu vervollständigen, nachdem du ohnehin schon im Besitz einer anderen Lösung zu sein scheinst, spielt das auch keine Rolle mehr...

$\begin{eqnarray*} \underbrace{\sin^2(2x)}_{4(1-\cos^2 x)\cos^2 x}+\underbrace{\cos(3x)}_{4\cos^3x-3 \cos x}*\cos x=(4\cos^2x-4 \cos^4 x )+(4\cos^4x-3\cos^2x)=\cos^2x \end{eqnarray*}$

06.01.2013, 16:33

Che Netzer

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Genau das wurde doch gerade gerechnet verwirrt

verwirrt

06.01.2013, 16:33

Goldbaer08

Auf diesen Beitrag antworten »

Und cos²(x)=(1-sin²(x)) wäre dann die Folgerung?

Danke euch beiden!
.................................../^^^^^^^^^\
..................................Mystic&Che Netzer
.................................________________
................................/............................\
.............................../..............................\
............................../................................\
.. Gott

Gott

Gott

Gott

.../....................................\

06.01.2013, 16:35

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Goldbaer08
Und cos²(x)=(1-sin²(x)) wäre dann die Folgerung?

Nein, das haben wir benutzt.

06.01.2013, 16:37

Goldbaer08

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben doch sin²(x) herraus genommen und dafür (1-cos²(x)) eingesetzt?

Deshalb wollte ich wissen, ob´s für den anderen Teil genau so geht!

06.01.2013, 16:43

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Und genau an der Stelle haben wir $\begin{eqnarray*} \sin^2(x)+\cos^2(x)=1 \end{eqnarray*}$ benutzt, das kann also keine Folgerung sein.

Und welchen anderen Teil meinst du?

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