Seiten in einem Dreieck

13.02.2007, 19:09

Viktor2

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Seiten in einem Dreieck

Für tüftel Freunde eine kleine Aufabe:

Man zeige, dass in einem rechtwinkligem Dreick nie alle Seiten $\begin{eqnarray*} $a,b,c,p,q,h\in\mathbb{N}$ \end{eqnarray*}$ sein können.
Kann mir jemand einen Ansatz verraten, brauch nicht gleich die ganze Lösung zu sein, denn ich will ja auch noch meinen Spaß haben….

LG
Viktor

13.02.2007, 19:20

tigerbine

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RE: Seiten in einem Dreieck
Stell doch mal die Beziehungen zwischen diesen Größen auf.

13.02.2007, 20:17

Viktor2

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RE: Seiten in einem Dreieck
Jah das hab ich probiert! Dann erhalt ich

$\begin{eqnarray*} $c=p+q$ \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} $a^2+b^2=c^2$ \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} $a^2=h^2+p^2$ \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} $b^2=h^2+q^2$ \end{eqnarray*}$

Wenn man jetzt lustig vor sich hin einsetzt dann erhält man noch

$\begin{eqnarray*} $a^2=p^2-pq$ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} $b^2=p+q-p^2+pq$ \end{eqnarray*}$

Bis jetzt seh ich aber noch keine Möglichkeit zu widerlegen, dass nicht alles natürlich Zahlen sein können traurig

traurig

!?

LG
Viktor

13.02.2007, 20:20

tigerbine

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RE: Seiten in einem Dreieck
nur mal kurz für alle die Skizze...

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/8/85/H%C3%B6hensatz.png

15.02.2007, 19:57

Viktor2

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RE: Seiten in einem Dreieck
Wink

Wink

danke für die Skizze!

Wie kann ich denn jetzt mit den bisherigen Gleichungen die Aufgabe lösen???

Gruß

Viktor

15.02.2007, 20:24

tigerbine

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RE: Seiten in einem Dreieck
Versuch doch mal hiermit einen Widerspruch zu konstruieren

Pyth. Zahlentripel

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15.02.2007, 22:04

riwe

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RE: Seiten in einem Dreieck
ich bin da zwar ein komplettes nackerpatzl, aber ich hab´s auch über die pythagoreischen tripel gemacht.
wenn die 3 seiten $\begin{eqnarray*} a, b, c \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ kannst du sie so darstellen, hat euklid gesagt, habe ich gehört unglücklich

unglücklich

.
und nun kann man einfach ( verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

, siehe oben) zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} hc=ab\to h=\frac{ab}{c}\notin \mathbb N \end{eqnarray*}$

werner

edit: betonung bei nackerpatzl liegt auf kleinkind = nicht haftend für irgendwas

15.02.2007, 22:41

AD

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Also ich weiß nicht so recht, was ihr euch da so überlegt, aber die Aussage

Zitat:

Original von Viktor2
Man zeige, dass in einem rechtwinkligem Dreick nie alle Seiten $\begin{eqnarray*} $a,b,c,p,q,h\in\mathbb{N}$ \end{eqnarray*}$ sein können.

ist schlicht falsch - gerade wegen der pythagoräischen Tripel!!! Die muss man dann doch nur noch geeignet erweitern.

EDIT: Wer's nicht glaubt, hier das schlichte Gegenbeispiel

$\begin{eqnarray*} a=15,b=20,c=25,p=9,q=16,h=12 \end{eqnarray*}$

15.02.2007, 23:11

riwe

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Also ich weiß nicht so recht, was ihr euch da so überlegt, aber die Aussage

Zitat:

Original von Viktor2
Man zeige, dass in einem rechtwinkligem Dreick nie alle Seiten $\begin{eqnarray*} $a,b,c,p,q,h\in\mathbb{N}$ \end{eqnarray*}$ sein können.

ist schlicht falsch - gerade wegen der pythagoräischen Tripel!!! Die muss man dann doch nur noch geeignet erweitern.

EDIT: Wer's nicht glaubt, hier das schlichte Gegenbeispiel

$\begin{eqnarray*} a=15,b=20,c=25,p=9,q=16,h=12 \end{eqnarray*}$

also eben doch ein ahnungsloser unglücklich

unglücklich

@arthur: aber gilt es wenigstens, wenn a, b und c teilerfremd sind?

werner

15.02.2007, 23:16

AD

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Dann ist es natürlich richtig. Davon war im Eröffnungsbeitrag aber keine Rede. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.02.2007, 23:20

tigerbine

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Kompliment, Arthur. Ich muss zugeben, dass ich den Beweis nicht gemacht habe, sondern "blindlinks" davon ausgegangen bin, dass seine Behauptung stimmt. Mir schienen dann eben nur die PZT das geeignete Beweismittel.

Gott

Gott

15.02.2007, 23:25

riwe

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Dann ist es natürlich richtig. Davon war im Eröffnungsbeitrag aber keine Rede. Augenzwinkern

Augenzwinkern

danke schön
ja, wie schon leopold anderen ortes sagte,..... unglücklich

unglücklich

im ernst. ist mir (durch dich) schon klar, dass das eine wesentliche voraussetzung ist.
werner

15.02.2007, 23:29

AD

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Zitat:

Original von wernerrin
ja, wie schon leopold anderen ortes sagte,..... unglücklich

unglücklich

Warum traurig? Meinst du das hier ? Das war vielleicht etwas gemein.

Hier im Thread war mein Einwurf aber sicherlich berechtigt. Oder soll Viktor2 sich noch eine Zeitlang am Beweis einer Behauptung abmühen, die gar nicht stimmt. geschockt

geschockt

16.02.2007, 00:28

riwe

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ja genau den link meinte ich.

und traurig bin ich eh nicht (allzu sehr).
ich ärgere mich nur über mich selbst, weil ich anfangs bei meinen beweisversuchen immer über
die "nicht - teilerfremdheit" gestolpert bin, da war dann ende.
und dann habe ich vergessen, diese notwendige voraussetzung anzuführen.

edit: nach einer schlaflosen nacht Big Laugh

Big Laugh

:
noch dazu weil man ja dann diese dämlichen tripel - dämlich bin natürlich ich nicht die - gar nicht braucht.
wenn a, b und c teilerfremd sind, steht ja der wald direkt vor den bäumen mit
$\begin{eqnarray*} h =\frac{ab}{c} \end{eqnarray*}$ unglücklich

unglücklich

jaja, schuster bleib bei deinem leisten....
wenn dem esel zu wohl ist,....
si tacuisses....
oder nach einer alten bauernregel:
wenn´s im winter regnet und schneit,
ist werner´s topfen (*) nicht mehr weit......

na was soll´s, hat mir trotzdem spaß gemacht.

und nochmals danke schön für die klarstellung.
werner

(*) wienerisch für unsinn

16.02.2007, 09:01

AD

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Um die Sache in einem etwas allgemeineren Kontext abzurunden:

Wenn man irgendein spezielles geometrisches Objekt betrachtet, von dem man fordert, dass gewisse Längen (von Seiten etc.) sämtlich rationale Zahlen sind, und es existiert tatsächlich so ein Objekt - dann existiert auch ein dazu ähnliches Objekt, wo die korrespondierenden Längen sogar ganzzahlig sind.

Die Beschreibung dieses Sachverhalts eben hat länger gedauert als der Beweis dazu: Einfach Ähnlichkeitsstreckung mit einem gemeinsamen Vielfachen (z.B. dem kgV) der Nenner der Brüche von den o.g. rationalen Längen, fertig.

17.02.2007, 17:14

Viktor2

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*höhö* ihr habt recht!! Entschuldigt bitte meine Unkenntnis! Aber ich glaube wir können die Aufgabe noch retten, indem wir für die Gleichungen

$\begin{eqnarray*} h^2 + q^2 = a^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p^2 + h^2 = b^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^2 + b^2 = (p+q)^2 \end{eqnarray*}$

alle Prim-Lösungen suchen! Na hat jemand eine Idee wie man das anstellen kann?

LG

Viktor

17.02.2007, 17:25

AD

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Was verstehst du in dem Kontext als "Primlösungen" ?

17.02.2007, 18:29

Viktor2

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Naja, eigentlich einfach nur das:
$\begin{eqnarray*} a,b,c,p,q,h\in\mathbb{P} \end{eqnarray*}$

17.02.2007, 18:48

AD

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@Viktor2

Das kannst du gleich vergessen, z.B. wegen $\begin{eqnarray*} pq=h^2 \end{eqnarray*}$ :

Wenn $\begin{eqnarray*} h,p,q \end{eqnarray*}$ Primzahlen sind, folgt unweigerlich $\begin{eqnarray*} p=q=h \end{eqnarray*}$ . Das dann entstehende gleichschenklig rechtwinklige Dreieck hat dann aber einige irrationalen Längen und scheidet aus.

Damit gibt es kein solches Dreieck - vielleicht hast du das beabsichtigt. Wirklich interessant ist das Problem dann aber nicht, bei der einfachen Widerlegung. Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.02.2007, 15:18

Viktor2

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Oje ich bin glaub ich auch so ein nackerpatzl Big Laugh

Big Laugh

Hellhörig bin ich übrigens bei dem Punkt geworden:

Zitat:

@arthur: aber gilt es wenigstens, wenn a, b und c teilerfremd sind?

Wobei ich bei dieser Frage noch p,q und h ergänzen würde!?
Lässt sich das wirklich so leicht beweisen und wenn ja wie???

LG
Viktor

20.02.2007, 20:44

Viktor2

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geschockt

Die Aufgabe scheints ja echt in sich zu haben, wenn bis jetzt noch keiner geantwortet hat...

Vielleicht hab ich aber auch nur die Aufgabe zu sehr dem Kontext angepasst unglücklich

unglücklich

hier also noch mal die Aufgabe für die die keine Lust haben das vorhergeschriebene zu lesen:

Also gesucht sind alle natürlichen Ergebnisse, für ein rechtwinkliges Dreick, dessen Seiten a,b,c,p,q,h alle teilerfremd zueinander sind.

Lösungen des Problems oder zumindest Ansätze erwünscht!! Danke schon mal für eure Bemühungen Wink

Wink

Übrigens wie man leicht sieht ist es sinnvoll mit Pythagoräischen Zahlentrippeln in der Beweisführung zu arbeiten...

LG
Viktor

20.02.2007, 21:05

AD

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Nein, es ist trivial - ich achte nun auch nicht immer auf jeden Thread...

Also: Es gibt keine Lösung, wo die Werte $\begin{eqnarray*} a,b,c,h,p,q \end{eqnarray*}$ teilerfremd zueinander sind. Die Lösung hat Werner im Prinzip schon skizziert.

21.02.2007, 11:34

Liacuso

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Man zeige das einer der Werte irrational sein muss und somit bei beliebiger Erweiterung der Gleichungen keine natürlichen Zahlen Lösungen der Gleichungen sein können.

Diese Aussage finde ich noch am einfachsten.^^

Wollts nur unbedingt noch mit einblingen.
Danke

Rock

Rock

21.02.2007, 11:54

AD

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@Liacuso

Vielleicht solltest du dir den Thread wirklich mal durchlesen... Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.02.2007, 12:03

Liacuso

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Jop des wär echt ne gute Idee.^^

Wollt aber unbedingt mal posten.

smile

smile

21.02.2007, 14:51

Viktor2

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verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

hmm, stimmt, grübel grübel, aber wie ist denn der gute Werner eigentlich auf $\begin{eqnarray*} hc=ab \end{eqnarray*}$ gekommen??? Also mit dem guten alten Pythagoras bin ich da nicht hingekommen...

LG
Viktor

21.02.2007, 14:58

derkoch

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Zitat:

Original von Viktor2
verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

hmm, stimmt, grübel grübel, aber wie ist denn der gute Werner eigentlich auf $\begin{eqnarray*} hc=ab \end{eqnarray*}$ gekommen??? Also mit dem guten alten Pythagoras bin ich da nicht hingekommen...

LG
Viktor

$\begin{eqnarray*} a^2= c\cdot p \end{eqnarray*}$

----> $\begin{eqnarray*} \frac{a^2}{c}= p \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b^2= c \cdot q \end{eqnarray*}$

---> $\begin{eqnarray*} \frac{b^2}{c}= q \end{eqnarray*}$

Höhensatz:

$\begin{eqnarray*} h^2=p\cdot q \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h^2= \frac{a^2}{c} \cdot \frac{b^2}{c}= \frac{a^2 \cdot b^2}{c^2} \end{eqnarray*}$

rest darfst du weiter machen! smile

smile

21.02.2007, 15:05

riwe

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eigentlich noch einfacher.
wir haben ja ein rechtwinkeliges dreieck, daher

$\begin{eqnarray*} 2A= ab = hc \to h=\frac{ab}{c} \end{eqnarray*}$
werner

21.02.2007, 15:14

derkoch

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Schläfer

Ich gehe wieder ins Bett werner! smile

smile

21.02.2007, 15:22

riwe

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Zitat:

Original von derkoch
Schläfer

Schläfer

Ich gehe wieder ins Bett werner! smile

smile

ot:

was denkst du, wie viele tage ich hatte, habe verwirrt

verwirrt

(heute ist ja noch nicht um) und noch haben werde,
wo es besser gewesen wäre oder sein würde, wenn ich nicht aufgestanden wäre oder sein würde. unglücklich

unglücklich

aber deine herleitung ist ja eh korrekt Big Laugh

Big Laugh

und am aschermittwoch ist so ein kleiner umweg schon erlaubt.
werner

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