Reihenkonvergenz und Allgemeines

05.01.2013, 20:02

WunderWutz

Reihenkonvergenz und Allgemeines

Hey, ich hab mir jetzt die letzen Tage mit Reihen den Tag versüßt aber versteh es noch immer nicht ganz.
Hoffe mal, dass mir da mal jmd ein bisschen verständnis reinbringen kann...

Es gibt x-verschiedene Kriterien, um zu beweisen, dass eine Reihe konvergiert bzw nicht konvergiert.
Wie weiß ich, welches ich anwenden muss?
Jedesmal wenn ich eine Reihe mit einem Bruch sehe denke ich, dass ich das Quotientenkriterium anwenden muss, was aber wohl nicht der Fall ist.

zb.:
Beweise, dass Sn(1/k(k+2)) von k=1 bis n konvergiert.
Tipp: A/k + B/(k+2) ; A,B € reele
Das verwirrt mich ganz keine Ahnung was mit diesem "Tipp" gemeint ist.

Geometrische Reihe:
Ist das jetzt einfach nur eine Methode um Reihen in ein Schema zu "pressen" womit man rechnen kann und in Folge dessen zeigen das sie konvergiert over ist da noch mehr dahinter?

Jede Reihe, die konvergiert ist eine Nullfolge, umkehrung gilt nicht.
Das heißt dann, wenn ich das Summenzeichen weglasse und für den Index unendlich einsetze einfach gegen null geht?
Sprich: Sn(1/k) konvergiert gegen 1, aber als Folge wenn ich die Summe weglasse gegen 0?

Bei der absoluten Konvergenz muss man einfach nur zeigen, dass der Betrag von der Reihe konvergiert.
Wieso darf ich von der alternierend harmonsichen Reihe einfach das - und die Potenz weglassen? (Siehe Wikipedia)
Warum ist wenn sie nach unendlich geht nicht Konvergent sondern Divergent? Sie "geht" doch nach etwas und springt nicht hin und her.

....Was mit Umordnungen gemeint sind versteh ich überhaupt nicht, das ist irgendetwas kryptisches.

Wie schaut es mit dem Mino,-und Majorantenkriterium aus? Die kann ich doch nur anwenden wenn ich 2 Reihen gegeben habe und dann auch nur eine Aussage von einer treffen wenn bei der anderen angegeben ist, was sie ist.

Ein kleines Bsp noch:
Sn(1/k^k)von 1 bis n
->Wurzelkirterium?
Sn(1/k)
lim Sn(1/k) -> 1 konvergiert und wie zeige ich jetzt mit dem Wurzelkriterium, dass das kleiner oder größer als 1 ist? Kann ich jetzt hier einfach irgendein k nehmen, zb.: 10 ?
lim sup((1/10)^1/10) -> kleiner 1 also Konvergent?

05.01.2013, 21:20

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Reihenkonvergenz und Allgemeines

Zitat:

Original von WunderWutz
Es gibt x-verschiedene Kriterien, um zu beweisen, dass eine Reihe konvergiert bzw nicht konvergiert.
Wie weiß ich, welches ich anwenden muss?

Bei manchen Reihen kann man bestimmte Terme wiedererkennen – bei einem $\begin{eqnarray*} (-1)^k \end{eqnarray*}$ könnte das Leibniz-Kriterium helfen; bei $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -ten Potenzen das Wurzelkriterium; bei Fakultäten das Quotientenkriterium.
Oft hilft aber Übung am meisten.

Zitat:

Jedesmal wenn ich eine Reihe mit einem Bruch sehe denke ich, dass ich das Quotientenkriterium anwenden muss, was aber wohl nicht der Fall ist.

Das ist auch oft der Fall, aber nicht immer.

Zitat:

zb.:
Beweise, dass Sn(1/k(k+2)) von k=1 bis n konvergiert.
Tipp: A/k + B/(k+2) ; A,B € reele
Das verwirrt mich ganz keine Ahnung was mit diesem "Tipp" gemeint ist.

Bei solchen Reihen (die Summanden sind gebrochenrationale Funktionen in $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ) helfen Wurzel-/Quotientenkriterium generell nie.
Der Tipp lautet ausformuliert, dass du $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ so bestimmen sollst, dass
$\begin{eqnarray*} \frac1{k(k+2)}=\frac Ak+\frac B{k+2}\,. \end{eqnarray*}$

Zitat:

Geometrische Reihe:
Ist das jetzt einfach nur eine Methode um Reihen in ein Schema zu "pressen" womit man rechnen kann und in Folge dessen zeigen das sie konvergiert over ist da noch mehr dahinter?

Man kann sich zwar irgendwelche Bedeutungen/Anwendungen überlegen, aber wesentlich ist, dass man mit denen gut rechnen und sogar den grenzwert exakt angeben kann.

Zitat:

Jede Reihe, die konvergiert ist eine Nullfolge

Nein.

Zitat:

Das heißt dann, wenn ich das Summenzeichen weglasse und für den Index unendlich einsetze einfach gegen null geht?

Du meinst damit wohl, dass die Summanden gegen Null konvergieren. In dem Fall: Ja, wenn $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty a_k \end{eqnarray*}$ konvergiert, ist $\begin{eqnarray*} (a_k) \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge.

Zitat:

Sprich: Sn(1/k) konvergiert gegen 1

Nein.

Zitat:

Bei der absoluten Konvergenz muss man einfach nur zeigen, dass der Betrag von der Reihe konvergiert.

Der Satz ergibt so keinen Sinn.
Absolute Konvergenz einer Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_ka_k \end{eqnarray*}$ ist als Konvergenz der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_k\lvert a_k\rvert \end{eqnarray*}$ definiert.

Zitat:

Wieso darf ich von der alternierend harmonsichen Reihe einfach das - und die Potenz weglassen? (Siehe Wikipedia)

Das ergibt so keinerlei Sinn.
Was genau ist deine Frage?

Zitat:

Warum ist wenn sie nach unendlich geht nicht Konvergent sondern Divergent? Sie "geht" doch nach etwas und springt nicht hin und her.

Sieh dir die genaue Definition von Konvergenz an. Anders gefragt: Wogegen geht "sie" denn? Wenn etwas gegen Unendlich geht, strebt sie keine reelle Zahl an.
Man nennt das aber auch bestimmte Divergenz, das könntest du als Kompromiss sehen.

Zitat:

....Was mit Umordnungen gemeint sind versteh ich überhaupt nicht, das ist irgendetwas kryptisches.

Vielleicht wird es schon klar, wenn ich anmerke, dass bei unendlichen Reihen die Summationsreihenfolge nicht egal ist. Bei endlichen Summen konnte man die Summanden nach Belieben vertauschen, bei unendlichen ist das aber nicht immer möglich, ohne den Reihenwert zu verändern.

Zitat:

Wie schaut es mit dem Mino,-und Majorantenkriterium aus? Die kann ich doch nur anwenden wenn ich 2 Reihen gegeben habe und dann auch nur eine Aussage von einer treffen wenn bei der anderen angegeben ist, was sie ist.

Naja, es reicht eine gegebene und eine bekannte Reihe.

Zitat:

Ein kleines Bsp noch:
Sn(1/k^k)von 1 bis n
->Wurzelkirterium?

Ja, das kannst du anwenden.

Zitat:

Sn(1/k)
lim Sn(1/k) -> 1 konvergiert und wie zeige ich jetzt mit dem Wurzelkriterium, dass das kleiner oder größer als 1 ist? Kann ich jetzt hier einfach irgendein k nehmen, zb.: 10 ?
lim sup((1/10)^1/10) -> kleiner 1 also Konvergent?

Das ergibt jetzt überhaupt keinen Sinn mehr. Was ist Sn(1/k)?

06.01.2013, 14:20

WunderWutz

Auf diesen Beitrag antworten »

Was das Leibnitz Kriterium ist hat nie jmd erwähnt.
Das Übung am meisten hilf ist klar nur naja....

Zitat:

Okay was hilft dann da?
Ich verstehe immer noch nicht was das fürn Tipp sein soll?
Und was meisnt du mit "solchen" Reihen?

Zitat:

Man kann sich zwar irgendwelche Bedeutungen/Anwendungen überlegen, aber wesentlich ist, dass man mit denen gut rechnen und sogar den grenzwert exakt angeben kann.

Hmm okay, und ich kann halt einige Reihen in die geom. Form bringen, sodass ich darüber leichter Aussagen treffen kann?

Zitat:

Nein.

Hmm ich hab das aber genauso hier stehen: Falls die Reihe Sn(xk) konvergiert, so ist (xn) eine Nullfolge. Stimmt doch oder? zb
Sn(1/k) -> geht gegen eins, also mal konvergent
lim 1/k -> geht gegen null.

Zitat:

absolute Konvergenz

Eine Reihe heißt absolut Konvergent , falls Sn(||xk||) konvergiert.
Also, anders ausgedrückt ich muss einfach das Minus weglassen, falls es eines gibt.

Zitat:

Das ergibt so keinerlei Sinn. Was genau ist deine Frage?

Wenn ich mir bei Wiki die Reihe anschaue dann wird aus
Sn(-1^n-1/n) -> 1/n , also darf ich immer alles negative weglassen wenn ich die Betragszeichen auflöse?

Zitat:

Sieh dir die genaue Definition von Konvergenz an. Anders gefragt: Wogegen geht "sie" denn? Wenn etwas gegen Unendlich geht, strebt sie keine reelle Zahl an. Man nennt das aber auch bestimmte Divergenz, das könntest du als Kompromiss sehen.

Hmm okay, aber da sich meine Profs nie beschwert haben, wenn ich gesagt habe, dass die Folge gegen unendlich konvergiert wird es wohl auch so passen.

Zitat:

Hmm ich habe das jetzt 5x in meiner Mitschrift durchgelesen und verstehe die Notation immer noch nicht, aber wenigstens weis ich jetzt worum es da geht smile

Zitat:

Naja, es reicht eine gegebene und eine bekannte Reihe.

Asoo, das heißt ich habe hier jetzt eine Reihe angegeben und möchte jetzt zeigen ob die Konvergiert durch Min oder Majo und dann könnte ich zb Sn(1/n) nehmen und damit mal testen?

Zitat:

Sn(1/k^k)von 1 bis n

Dürfte ich auch die Quotientenregel anwenden?

Asoo ich muss das Summenzeichen weglassen.

lim (|ak|)^1/k = lim (1/k^k)^1/k = lim (1^(1*1/k)/k^(k*1/k))= lim 1/k = 0
Darf ich jetzt weiter einfach irgendein k annehmen, mit 10 wäre es kleiner als 1 also konvergent, okay trifft eigentlich auf alle Zahlen ab 2 zu.... Und die Definition sagt ja auch das es nur für fast alle k ungleich 0 gelten muss also kann ich sagen, dass diese Reihe konvergiert?

06.01.2013, 14:32

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von WunderWutz
Okay was hilft dann da?

In diesem Fall Partialbruchzerlegung, wie im Tipp angegeben. Allgemeiner kann man die höchste Potenz ausklammern und die Beschränktheit des Restterms zeigen.

Zitat:

Ich verstehe immer noch nicht was das fürn Tipp sein soll?

Finde $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ so, dass
$\begin{eqnarray*} \frac1{k(k+2)}=\frac Ak+\frac B{k+2}\,. \end{eqnarray*}$
Das ist der Tipp.

Zitat:

Und was meisnt du mit "solchen" Reihen?

Hatte ich in Klammern geschrieben. Reihen, bei denen der Summand eine gebrochenrationale Funktion in $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist.

Zitat:

Hmm okay, und ich kann halt einige Reihen in die geom. Form bringen, sodass ich darüber leichter Aussagen treffen kann?

Jein. Aber man begegnet öfters geometrischen Reihen. Da ist es vorteilhaft, wenn man die gleich benennen kann.

Zitat:

Hmm ich hab das aber genauso hier stehen: Falls die Reihe Sn(xk) konvergiert, so ist (xn) eine Nullfolge. Stimmt doch oder? zb

Das stimmt. Aber konvergente Reihen sind keine Nullfolgen.

Zitat:

Sn(1/k) -> geht gegen eins, also mal konvergent

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty\frac1k \end{eqnarray*}$ konvergiert NICHT.

Zitat:

Wenn ich mir bei Wiki die Reihe anschaue dann wird aus
Sn(-1^n-1/n) -> 1/n , also darf ich immer alles negative weglassen wenn ich die Betragszeichen auflöse?

Der Betrag eliminiert die Vorzeichen, wenn du das meinst.
Dein Ausdruck "Sn(-1^n-1/n) -> 1/n" ergibt aber keinen mathematischen Sinn.

Zitat:

Hmm okay, aber da sich meine Profs nie beschwert haben, wenn ich gesagt habe, dass die Folge gegen unendlich konvergiert wird es wohl auch so passen.

Naja, das ist nur etwas salopp formuliert. Eigentlich ist das dann keine Konvergenz in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . D.h. "konvergent gegen Unendlich" ist gesondert zu behandeln und bedeutet nicht "konvergent" (im eigentlichen Sinne).

Zitat:

Asoo, das heißt ich habe hier jetzt eine Reihe angegeben und möchte jetzt zeigen ob die Konvergiert durch Min oder Majo und dann könnte ich zb Sn(1/n) nehmen und damit mal testen?

Ich schätze, ja, wenn ich dich richtig verstehe.
Also folgendermaßen:
- Eine Reihe ist gegeben
- Ich schätze diese nach oben/unten angemessen ab, und zwar durch eine bekannte Reihe
- Jetzt folgere ich (absolute) Konvergenz bzw. Divergenz der gegebenen Reihe

Zitat:

Dürfte ich auch die Quotientenregel anwenden?

Das Quotientenkriterium meinst du wohl. Ja, könntest du auch.

Zitat:

lim (|ak|)^1/k = lim (1/k^k)^1/k = lim (1^(1*1/k)/k^(k*1/k))= lim 1/k = 0

Das stimmt, das zeigt die absolute Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum_ka_k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_k=\frac1{k^k} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Darf ich jetzt weiter einfach irgendein k annehmen, mit 10 wäre es kleiner als 1 also konvergent

Was soll das??

Zitat:

okay trifft eigentlich auf alle Zahlen ab 2 zu.... Und die Definition sagt ja auch das es nur für fast alle k ungleich 0 gelten muss also kann ich sagen, dass diese Reihe konvergiert?

Welche Definition sagt was?
Welche Reihe?
Und nur wenn $\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{\lvert a_k\rvert}<1 \end{eqnarray*}$ für fast alle $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , muss die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_ka_k \end{eqnarray*}$ noch nicht konvergieren.

06.01.2013, 15:14

WunderWutz

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

................Das ist der Tipp.

Das ich es in dieser Form darstellen soll ist klar.
Nur... was soll ich damit? warum nicht einfach ausmultiplizieren und dann nach nem Kriterium durchrechnen. Was mit Partialbruchzerlegung gemeint ist, ist auch unklar.
Auf Wikipedia steth das es für Potzenzen gedacht ist.
Gibt es vielleicht eine einfache Möglichkeit diese Reihe auf Konvergenz zu überprüfen?

Zitat:

konvergiert NICHT.

ohh?
1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4+....
Die Partialsumme, das Reihenglied oder wie immer das heißt geht immer weiter gegen 0.
Und die Summe insgesamt geht gegen unendlich, also bestimmt Divergent Big Laugh

Oder sollte ich da jetzt noch was mit nem Kriterium zeigen?
Das ist dann aber ziemlich unlogisch, dass dann zb: 1/k^2 konvergiert, das Teil steigt doch dann auch bis unendlich, zwar wesentlich langsamer aber immerhin.

Zitat:

Dein Ausdruck "Sn(-1^n-1/n) -> 1/n" ergibt aber keinen mathematischen Sinn.

Naja steht so auf Wikipedia.

Zitat:

Ich schätze, ja, wenn ich dich richtig verstehe.

Ja, genau.
Aber weshalb nimmt man dann nicht einfach immer diese beiden Kriterien?
Dabei braucht man ja nicht großartig rumzurechnen.

Zitat:

Welche Definition sagt was? Welche Reihe?

Ohh, ich habe gerade auf das Quotientenkriterium geschaut und nicht auf das Wurzelkriterium.

Zitat:

Und nur wenn $\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{\lvert a_k\rvert}<1 \end{eqnarray*}$ für fast alle $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , muss die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_ka_k \end{eqnarray*}$ noch nicht konvergieren.

Hmm hier steht, wenn der lim sup von Wurzel(||xk||) <1 ist die Reihe absolut konvergent.
Nur, steht hier dabei, dass es für unendlich viele k gilt.
Was ist dann bei 1?
Dann kommt man auf 1/1 und somit divergent.

Edit:
Ahh Moment, hier stehts ja.
Durch diese Aussagen kann man nicht auf die Konvergenz/Divergenz der Reihe schließen.
Da steth jetzt noch irgendetwas mit einem q < Wurzel(||xk||) für höchstens endlich viele k
Dann steth noch etwas mit Häufungswert und Supremum aber was damit gemeint ist verstehe ich nicht wirklich.

09.01.2013, 13:26

WunderWutz

Auf diesen Beitrag antworten »

Ehmm hätte noch eine Frage.

Sn(1/k(k+2))
ich habe diese nun mit 1/k^2 verglichen, da sie wohl größer ist.
Gibt es da so eine Grundregel wann ich beweisen muss, dass die neue Reihe auch konvergiert?
Weil 1/k^2 werde ich wohl nicht beweisen müssen, aber was ist wenn ich nun mit 1/k(k+1), die wohl auch größer ist, diese Reihe müsste ich doch auch zuerst auf Konvergenz untersuchen?

Also ist das Majo und Minorantenkriterium doch nur anwendbar wenn man die gegebene Reihe mit einer "allgemeinen"(wie 1/k^2) vergleichen kann?

09.01.2013, 14:04

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Mit dem Majoranten- oder Minorantenkriterium will man sich das Leben erleichtern. Das Majorantenkriterium wendet man an, wenn man zeigen will, dass eine Reihe konvergiert. Wenn man nämlich eine einfache oder eine bekannte konvergente Reihe findet, die die erste majorisiert, dann konvergiert diese auch.

Ähnlich beim Minorantenkriterium: Wenn man eine einfache oder bekannte divergente Reihe findet, die eine Minorante der zu untersuchenden Reihe ist, dann divergiert diese auch.

Neue Frage »

Antworten »

Reihenkonvergenz und Allgemeines

Verwandte Themen