Würfel verfälschen

05.01.2013, 21:31	alcardaalanda	Auf diesen Beitrag antworten »
Würfel verfälschen Guten Abend zusammen. Bei folgender Aufgabe komme ich auf keinen grünen Zweig: Es werde mit zwei fairen, unabhängigen Würfeln gewürfelt, $\begin{eqnarray} X_i, i=1,2 \end{eqnarray}$ bezeichne die Augenzahl von Würfel $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ . Kann man die beiden Würfel so verfälschen, dass die Augensumme $\begin{eqnarray} X_1+X_2 \end{eqnarray}$ jeden möglichen Wert mit der gleichen Wahrscheinlichkeit annimmt? Als Hinweis ist gegeben, dass man die Nullstellen der Erzeugendenfunktionen von $\begin{eqnarray} X_1, X_2 \end{eqnarray}$ mit jenen der Erzeugendenfunktion von $\begin{eqnarray} X_1+X_2 \end{eqnarray}$ vergleichen soll. Leider weiß ich nicht, was mir dieser Hinweis bringt. Ich habe herausbekommen, dass die Erzeugendenfunktionen dieselben Nullstellen haben, wobei $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ die einzige Nullstelle ist, welche im Definitionsbereich der Erzeugendenfunktion liegt. Doch was sagt mir das? Da ja die Werte von 2-12 angenommen werden können, müsste jeder dieser Werte mit WSK $\begin{eqnarray} \frac{1}{11} \end{eqnarray}$ eintreffen, oder? Leider komme ich hier schon nicht weiter... Vielleicht hat ja jemand von euch einen kleinen Tipp für mich?
05.01.2013, 23:01	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreiben wir doch mal konkret die Erzeugendenfunktion der "gewünschten" Summenverteilung auf: Die ist $\begin{eqnarray} E\left(z^{X_1+X_2}\right) = \frac{1}{11} \sum_{k=2}^{12} z^k = \frac{z^2}{11} \cdot \frac{1-z^{11}}{1-z} \end{eqnarray}$ . Und jetzt nochmal gründlich über deinen gegebenen Hinweis nachdenken...
05.01.2013, 23:47	alcardaalanda	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die rasche Antwort. Die linke Seite habe ich auch aufgestellt. Mal schauen, ob ich was mit dem Tipp anfangen kann, im Moment sehe ich nämlich noch nichts. Aber es ist auch schon spät am Abend. Werde mich morgen früh ausführlicher damit auseinandersetzen. Eine Frage stellt sich mir aber jetzt schon: Darf man die Umformung mittels Berechnung der Partialsumme der geometrischen Reihe wirklich tätigen? Das geht ja nur, wenn $\begin{eqnarray} z\neq 1 \end{eqnarray}$ . Allerdings haben wir die Erzeugendenfunktion auf dem Intervall $\begin{eqnarray} \left[0,1\right] \end{eqnarray}$ definiert. Oder ist das für diese Aufgabe unerheblich? Denn du hast sie sicherlich nicht ohne Grund hingeschrieben.
06.01.2013, 12:11	alcardaalanda	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab jetzt einen Lösungsansatz: Angenommen, man kann die Würfel wie gewünscht verfälschen. Dann hätten die Würfel die Erzeugendenfunktionen $\begin{eqnarray} E(z^{x_1})=\sum\limits_{k=1}^6 p_kz^k \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} E(z^{x_2})=\sum\limits_{k=1}^6 q_kz^k \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} p_1+...+p_6=1=q_1+...+q_6 \end{eqnarray}$ Aufgrund der Multiplikativität von Erzeugendenfunktionen wäre dann $\begin{eqnarray} E(z^{x_1+x_2})=\sum\limits_{k=1}^6 p_kz^k \sum\limits_{k=1}^6 q_kz^k = z^2(p_1+...+p_6z^5)(q_1+...+q_6z^5) \end{eqnarray}$ Gleichsetzen liefert $\begin{eqnarray} (p_1+...+p_6z^5)(q_1+...+q_6z^5) = \frac{1-z^{11}}{1-z} \end{eqnarray*}$ Nun hat aber die linke Seite mindestens eine reelle Nullstelle, da sie ein Produkt zweier Polynome 5.ten Grades ist. Die rechte Seite besitzt allerdings keine reelle Nullstelle. Das ist ein Widerspruch, also kann man die Würfel nicht wie gewünscht verfälschen. Ist das so in Ordnung?
06.01.2013, 13:20	alcardaalanda	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich steht am Ende auf der rechten Seite vor dem Bruch noch das $\begin{eqnarray} \frac{1}{11} \end{eqnarray}$ , aber das verändert an der Überlegung nichts

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »