orthogonale Projektionen

05.01.2013, 23:10	lalalaa93	Auf diesen Beitrag antworten »
orthogonale Projektionen Meine Frage: Sei w ,ein Element von R^3, der Koordinatenvektor eines Einheitsvektors im Anschauungsraum. 1) Zeigen sie, dass die orthogonale Projektion auf den von diesem Einheitsvektor aufgespannten Untervektorraum linear ist und bestimmen sie die zugehörige Darstellungsmatrix P bezüglich der kanonischen Basis. 2) Zeigen sie die Projektionseigenschaft PP=P 3) Ist P symmetrisch, orthogonal und/oder positiv definit? Meine Ideen: .
06.01.2013, 20:36	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
[attach]27672[/attach] Schneide die Ebene, die durch den zu projizierenden Punkt geht und senkrecht auf der von $\begin{eqnarray} \vec{w} \end{eqnarray}$ erzeugten Ursprungsgeraden steht, mit dieser. Der Schnittpunkt ist der gesuchte Projektionspunkt. Als Darstellungsmatrix habe ich $\begin{eqnarray} P = \vec{w} \cdot \vec{w}^{\top} \end{eqnarray}$ erhalten. Dabei gehe ich davon aus, daß $\begin{eqnarray} \vec{w} \end{eqnarray}$ als Spalte geschrieben ist. $\begin{eqnarray} \vec{w}^{\top} \end{eqnarray}$ ist dann die aus $\begin{eqnarray} \vec{w} \end{eqnarray}$ durch Transponieren entstehende Zeile. Dagegen ist $\begin{eqnarray} \vec{w}^{\top} \cdot \vec{w} = 1 \end{eqnarray}$ , denn dieses Matrizenprodukt entspricht dem Skalarprodukt. Das ist interessant zum Nachweis der Eigenschaft 2).

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