Partialbruchzerlegung

06.01.2013, 01:05

PBZ

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Partialbruchzerlegung

Meine Frage:
Leute ich hab bisschen schwierigkeiten bei der PBZ und wäre für jede Hilfe dankbar.

$\begin{eqnarray*} y= \frac{2x+3}{x^2 + x +0,25} \end{eqnarray*}$

Als nullstelle habe ich nur 1/2 raus.

Jetzt hab ich das Lgs angewendet und komm irgendwie nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} y= \frac{2x+3}{x + \frac{1}{2} } = \frac{A}{(x+ \frac{1}{2}) } \end{eqnarray*}$

Ist das jetzt mein LGS ?

2x +3 = A

Bitte hilft mir

Meine Ideen:
gepostet

06.01.2013, 01:53

Lamiah

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RE: Pbz
Ja, aber beachte, dass 1/2 eine doppele Nullstelle des Nenners ist. Also: $\begin{eqnarray*} y = \frac{2x +3}{x^2 +x +\frac{1}{4}} = \frac{2x+3}{ (x- \frac{1}{2}) (x- \frac{1}{2})} \overset{!}{=} \frac{A}{x- \frac{1}{2}} + \frac{B}{x- \frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$
Das ist Dein Ansatz.

06.01.2013, 02:03

PBZ

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Jetzt habe ich das gemacht:

2x + 3 = Ax -1/2 + Bx -1/2

Ist es soweit richtig?

Wenn ja wie gehe ich weiter vor?

06.01.2013, 02:08

Lamiah

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Nein, nicht ganz. Ziel ist es $\begin{eqnarray*} \frac{A}{x-\frac{1}{2}}+\frac{B}{x-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ zurück auf die Anfangsform zu bringen, um Bedingungen für A und B zu erhalten.

Also: $\begin{eqnarray*} \frac{A}{x-\frac{1}{2}}+ \frac{B}{x-\frac{1}{2}} = \frac{A(x-\frac{1}{2})}{(x-\frac{1}{2})^2} + \frac{B(x-\frac{1}{2})}{(x-\frac{1}{2})^2} \end{eqnarray*}$

06.01.2013, 02:18

PBZ

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Das ( x -1/2) kann ich doch kürzen oder?

06.01.2013, 02:21

Lamiah

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Ja, aber Dein Ziel ist doch jetzt erst einmal, die beiden Brüche auf einen Nenner zu bringen.

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06.01.2013, 02:32

PBZ

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$\begin{eqnarray*} \frac{A*( x -1/2) +B*( x - 1/2}{( x - 1/2 )^2} \end{eqnarray*}$

Was soll ich eigentlich jetzt machen?

Jetzt muss ich doch diesen Koeffizientenvergleich machen , aber hier habe ich so meine Schwierigkeiten.

06.01.2013, 02:46

Lamiah

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Betrachte den Zähler: $\begin{eqnarray*} A(x - \frac{1}{2}) + B(x- \frac{1}{2}) = Ax - \frac{A}{2} + Bx - \frac{B}{2} = (A+B)x - \frac{A+B}{2} \end{eqnarray*}$
Jetzt vergleiche mit der Ausgangsform der Gleichung, also $\begin{eqnarray*} 2x +3 = (A+B)x - \frac{A+B}{2} \end{eqnarray*}$
Welche Bedingungen ergeben sich?

06.01.2013, 02:53

PBZ

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Kann es sein das A zur 2 gehört und irgendwie zu 3 ?

06.01.2013, 08:04

Dopap

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RE: Pbz
das hat keine Lösungen. Liegt aber am Ansatz:

Zitat:

Original von Lamiah
Ja, aber beachte, dass 1/2 eine doppele Nullstelle des Nenners ist. Also: $\begin{eqnarray*} y = \frac{2x +3}{x^2 +x +\frac{1}{4}} = \frac{2x+3}{ (x- \frac{1}{2}) (x- \frac{1}{2})} \overset{!}{=} \frac{A}{x- \frac{1}{2}} + \frac{B}{x- \frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$
Das ist Dein Ansatz.

und der sollte so lauten:

$\begin{eqnarray*} \frac{2x+3}{ (x+\frac{1}{2})^2 } = \frac{A}{x+ \frac{1}{2}} + \frac{B}{(x+\frac{1}{2})^2} \end{eqnarray*}$

jetzt noch mit dem Hauptnenner durchmultiplizieren und dann noch Koeff-vergleich.

--------------------------------------------------------------------------------------------
seit wann ist $\begin{eqnarray*} x^2+x+\frac14 = (x-\frac 12)^2 \end{eqnarray*}$ ?

06.01.2013, 12:28

PBZ

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$\begin{eqnarray*} 2x+3 = \frac{A*( x + \frac{1}{2}) }{(x+\frac{1}{2}) } + \frac{B*( x + \frac{1}{2})}{(x+1/2)^2} \end{eqnarray*}$

Das wäre mein Ansatz.

Aber ich verstehe nicht warum bei dem B bruch ein qudrat im nenner ist ?

06.01.2013, 14:41

Lamiah

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Ohje, tschuldigung wegen dem Vorzeichenfehler. Hammer

Hammer

06.01.2013, 15:43

Dopap

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@Lamiah: Vorzeichenfehler passieren, falscher Ansatz ist weniger gut

Zitat:

Original von PBZ
Das wäre mein Ansatz.

??? Das ist irgendwas. Woher warum ?

Zitat:

Aber ich verstehe nicht warum bei dem B bruch ein qudrat im nenner ist ?

Das ist eben der richtige Ansatz der hier gemacht wird.
------------------------------------
Also: mit HN multiplizieren: --->

$\begin{eqnarray*} 2x+3 = A( x + \frac{1}{2}) + B \end{eqnarray*}$

06.01.2013, 15:47

PBZ

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Was müsste ich jetzt als nächstes machen?

Ich hab das thema in der Schule nicht so richtig verstanden.

06.01.2013, 15:53

Dopap

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ausmultiplizieren und sortieren:

$\begin{eqnarray*} 2x+3= (...)x + (...) \end{eqnarray*}$

mit dem Vergleich mit Links folgt dann:

1. Klammer = 2
2. Klammer = 3

und damit A und B bestimmen.

--------------------------

könnte in die Schulmathe verschoben werden!

06.01.2013, 16:28

PBZ

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2x +3 = Ax +1/2 A + B

Oh man was mche ich als nächstes ?

Könnte es so sein:

2x +3 = 2x + 1/2 A + ?

06.01.2013, 16:52

Dopap

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$\begin{eqnarray*} 2x+3=(2)x+(\frac 12 A +B) \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1. \quad A&=&2 \\ 2. \quad \frac 12 A +B &=& 3 \end{eqnarray*}$

dieses kleine LGS ist zu lösen.

06.01.2013, 17:43

PBZ

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Für B kommt gleich 3 raus oder?

06.01.2013, 17:53

Dopap

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leider falsch unglücklich

unglücklich

B=2

wie sieht jetzt deine Partialbruchzerlegung von

$\begin{eqnarray*} y(x)=\frac {2x+3}{x^2+x+\tfrac 14} \end{eqnarray*}$ aus?

06.01.2013, 18:41

PBZ

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Tut mir leid da hatte ich mich nur verschrieben : 3/1 = 3

Natürlich.

Kannst du mir nur noch bitte erklären wie du zu diesem LGs gekommen bist.

Wie bist du auf einmal auf A = 2 gekommen?

06.01.2013, 18:54

Dopap

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Zitat:

Original von Dopap
$\begin{eqnarray*} 2x+3=(2)x+(\frac 12 A +B) \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1. \quad A&=&2 \\ 2. \quad \frac 12 A +B &=& 3 \end{eqnarray*}$

da hatte ich mich verschrieben, richtig ist:

$\begin{eqnarray*} 2x+3=(A)x+(\frac 12 A +B) \Rightarrow \end{eqnarray*}$

oder mit farbigem Koeffizientenvergleich:

$\begin{eqnarray*} {\color{red}2}x+{\color{blue}3}=({\color{red}A})x+({\color {blue}\frac 12 A +B}) \Rightarrow \end{eqnarray*}$

06.01.2013, 19:09

PBZ

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Tut mir leid wie du zu deinem nächsten schritt kommst .

Verstehe ich nicht.

06.01.2013, 21:21

Dopap

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$\begin{eqnarray*} {\color{red}2}x+{\color{blue}3}=({\color{red}A})x+({\color {blue}\frac 12 A +B}) \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> 1.) \quad {\color{red}2}= {\color{red}A}<br /> 2.) \quad {\color{blue}3 }= {\color {blue}\frac 12 A +B} \end{eqnarray*}$

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