Taylorenrentwicklng in höheren Dimensionen

06.01.2013, 03:19

Alexandra Ardanex

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Taylorenrentwicklng in höheren Dimensionen

Meine Frage:
Hallo zusammen. Die Taylorentwicklung in 1D haben ich jetzt hier im Forum "durchgeackert" nun folgen Tayloreihen in höheren Dimension.

a) Geben Sie die Taylorreihe für die Funktion $\begin{eqnarray*} g(x, y)=e^{x} sin y \end{eqnarray*}$ an.
Berechnen Sie explizit alle Terme bis zu dritter Ordnung.

b) Berechnen Sie für folgende Funktionen die Taylorentwicklung um den

Nullpunkt bis zur zweiten Ordnung.

(i) $\begin{eqnarray*} f(x)=e^{-(x+y)^{2}} \end{eqnarray*}$

(i i) $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x y} } \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also die vorgehensweise in 1D ist mir im Großen und Ganzen verständlich. Wie und in welcher Form ändert sich jetzt die Herangehensweise bei Taylorreihen in höheren Dimensionen ?

Recht herzlichen Dank für jede Form von Hilfe.

06.01.2013, 08:28

Dopap

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zumindest brauchst du alle partiellen Ableitungen bis zum Wert des Grades

z.B. bei 2.)

$\begin{eqnarray*} f<br /> f_x , f_y<br /> f_{xx}, f_{xy} , f_{yy} , f_{yx} \end{eqnarray*}$

wenn z.B. $\begin{eqnarray*} f_{xy} = \frac {\partial^2 f(x,y) }{\partial x \partial y} \end{eqnarray*}$ bedeuten soll.

ansonsten sei dir erstmal der Workshop von Cel empfohlen:

[Artikel] Taylorapproximation

06.01.2013, 23:04

Alexandra Ardanex

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Zitat:

Original von Dopap
zumindest brauchst du alle partiellen Ableitungen bis zum Wert des Grades

z.B. bei 2.)

$\begin{eqnarray*} f<br /> f_x , f_y<br /> f_{xx}, f_{xy} , f_{yy} , f_{yx} \end{eqnarray*}$

wenn z.B. $\begin{eqnarray*} f_{xy} = \frac {\partial^2 f(x,y) }{\partial x \partial y} \end{eqnarray*}$ bedeuten soll.

ansonsten sei dir erstmal der Workshop von Cel empfohlen:

[Artikel] Taylorapproximation

Das habe ich mir soweit durchgelesen.
Ich verstehe die Formel nicht für Taylorreihen in höheren Dimensionen.

Fangen wir mal mit der a) an:

Alle partiellen Ableitungen bis zur dritten Ordnung von: $\begin{eqnarray*} g(x, y)=e^{x} \cdot \sin(y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g_{xy} = \frac {\partial g(x,y) }{\partial x }=e^{x} \cdot \sin(y) \end{eqnarray*}$

Sin(y) ist doch nichts anderes als ein konstanter Faktor? Und konstante Faktoren bleiben beim ableiten erhalten.

06.01.2013, 23:57

Dopap

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bitte keine Vollzitate in direkter Antwort, das ist Datenmüll.

du hast $\begin{eqnarray*} g_{xy} \end{eqnarray*}$ geschrieben aber $\begin{eqnarray*} g_x \end{eqnarray*}$ berechnet.

Die "Indexe" geben die Reihenfolge der partiellen Ableitungen an, z.B.

$\begin{eqnarray*} g_x=e^x\sin(y)<br /> g_y=e^x\cos(y)<br /> g_{xx}=e^x\sin(y)<br /> g_{xy}=e^x\cos(y)=\frac {\partial}{\partial y} \bigg (\frac {\partial}{\partial x}g(x,y) \bigg ) <br /> g_{xyy}=-e^x\sin(x)<br /> g_{yyy}=-e^x\cos(y) ... \end{eqnarray*}$

07.01.2013, 00:37

Alexandra Ardanex

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Zitat:

Original von Dopap
$\begin{eqnarray*} <br /> g_{xy}=e^x\cos(y)=\frac {\partial}{\partial y} \bigg (\frac {\partial}{\partial x}g(x,y) \bigg ) <br /> \end{eqnarray*}$

Danke dieses Beispiel hat mich wieder daran erinnert wie es geht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nur wie oft muss ich denn jetzt hier ableiten. Es gibt ja die verschiedenen Kombinationen. Bis zur dritter Ordnung, darunter verstehe ich 3 mal ableiten. Aber jede einzelne Kombination 3 mal ableiten?
Und was danach ? [Artikel] Taylorapproximation

Der Thread von Cel lässt keine Zitate zu deswegen, kann ich nicht genau erklären wo ich Verständnisprobleme bei der Taylorforlem für höhere Dimensionen habe. Was muss man da anders machen ?

07.01.2013, 01:12

Alexandra Ardanex

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Auch hier verstehe ich das System der partiellen Ableitung, aber danach nicht mehr was mit diesen passiert (Beispiel 2). Was es mit dem Gradienten und dieser Formel auf sich hat. unglücklich

unglücklich

[Artikel] Taylorapproximation

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07.01.2013, 01:13

Dopap

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a.)
die allgemeine Taylorreihe kann ich nicht anschreiben.
Ein Entwicklungspunkt ist nicht angegeben ich nehme mal $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0) \end{eqnarray*}$

in dritter Ordnung:

$\begin{eqnarray*} g(x,y)\approx g(x_0,y_0) + g_x(x_0,y_0)(x-x_0)+g_y(x_0,y_0)(y-y_0)+ <br /> <br /> + \frac12 g_{xx}(x_0,y_0)(x-x_0)^2+ \frac12 g_{yy}(x_0,y_0)(y-y_0)^2 +g_{xy}(x_0,y_0)(x-x_0)(y-y_0)+ <br /> + \frac 16 g_{xxx}(x_0,y_0)(x-x_0)^3+ \frac 16 g_{yyy}(x_0,y_0)(y-y_0)^3 +<br /> + \frac12 g_{xxy}(x_0,y_0)(x-x_0)^2(y-y_0) + \frac12 g_{xyy}(x_0,y_0)(x-x_0)(y-y_0)^2 \end{eqnarray*}$

Hinweis: gemischte Ableitungen sind gleich, z.B.

$\begin{eqnarray*} g_{xxy}=g_{xyx}=g_{yxx} \end{eqnarray*}$

jetzt alle Ableitungen einsetzen und fertig!

----------------------------

wie bekomme das linksbündig ?

07.01.2013, 01:22

Dopap

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Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
Auch hier verstehe ich das System der partiellen Ableitung, aber danach nicht mehr was mit diesen passiert (Beispiel 2). Was es mit dem Gradienten und dieser Formel auf sich hat. unglücklich

unglücklich

[Artikel] Taylorapproximation

das bietet sich bei 2. Ordnung an, die Variablenanzahl ist dann egal.
Das betrifft dann die Aufgabe b.)

07.01.2013, 01:24

Alexandra Ardanex

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Sry, mit dem linksbündig weiß ich nicht. Aber der Entwicklungspunkt ist nicht gegeben, du nimmst an er sei $\begin{eqnarray*} (x_0 y_0) \end{eqnarray*}$ also nur allgemein, keine konkreten Werte für $\begin{eqnarray*} (x_0 y_0) \end{eqnarray*}$ ?

07.01.2013, 01:31

Dopap

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wenn kein Punkt vorgegeben wird, nimmt man den Allgemeinen. Die Taylorreihe hängt sehr vom Entwicklungspunkt ab.

In b.) ist ja dann (0,0) vorgegeben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

----------------------

das mit linksbündig war eine Frage an alle.

07.01.2013, 01:42

Alexandra Ardanex

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Zitat:

Original von Dopap
a.)
in dritter Ordnung:

$\begin{eqnarray*} g(x,y)\approx g(x_0,y_0) + g_x(x_0,y_0)(x-x_0)+g_y(x_0,y_0)(y-y_0)+ <br /> <br /> + \frac12 g_{xx}(x_0,y_0)(x-x_0)^2+ \frac12 g_{yy}(x_0,y_0)(y-y_0)^2 +g_{xy}(x_0,y_0)(x-x_0)(y-y_0)+ <br /> + \frac 16 g_{xxx}(x_0,y_0)(x-x_0)^3+ \frac 16 g_{yyy}(x_0,y_0)(y-y_0)^3 +<br /> + \frac12 g_{xxy}(x_0,y_0)(x-x_0)^2(y-y_0) + \frac12 g_{xyy}(x_0,y_0)(x-x_0)(y-y_0)^2 \end{eqnarray*}$

jetzt alle Ableitungen einsetzen und fertig!

Normalerweise nimmt es immer mit n! zu. Wieso steht da jetzt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ außerdem erkenne ich nicht das es die dritte Ordnung ist.

07.01.2013, 01:49

Dopap

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nach Aufgabenblatt ist die Ordnung 3. Es geht bis zur 3. Potenz , respektive Ableitung.

der Begriff "Grad" wäre mir lieber.

nun $\begin{eqnarray*} \frac 16 = \frac {1}{3!} \end{eqnarray*}$ , eben vor die Ableitung geschrieben, sonst hätte man einen grossen Bruch zu schreiben.

07.01.2013, 01:59

Alexandra Ardanex

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Zitat:

Original von Dopap
in dritter Ordnung:

$\begin{eqnarray*} g(x,y)\approx g(x_0,y_0) + g_x(x_0,y_0)(x-x_0)+g_y(x_0,y_0)(y-y_0)+ <br /> <br /> + \frac12 g_{xx}(x_0,y_0)(x-x_0)^2+ \frac12 g_{yy}(x_0,y_0)(y-y_0)^2 +g_{xy}(x_0,y_0)(x-x_0)(y-y_0)+ <br /> + \frac 16 g_{xxx}(x_0,y_0)(x-x_0)^3+ \frac 16 g_{yyy}(x_0,y_0)(y-y_0)^3 +<br /> + \frac12 g_{xxy}(x_0,y_0)(x-x_0)^2(y-y_0) + \frac12 g_{xyy}(x_0,y_0)(x-x_0)(y-y_0)^2 \end{eqnarray*}$

Wie setze ich denn jetzt die Ableitungen da ein ? Das ist doch irgendwie blöd ? Man muss doch nur die Ableitung da einsetzen und das war's, da ja die Entwicklungspunkte nicht explizit gegeben sind. Soll ich jetzt noch überall in die Ableitungen $\begin{eqnarray*} (x_0, y_0) \end{eqnarray*}$ einsetzen ? Und das dann so aufschreiben ? Ich muss dann aber auch seperat das $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ und das $\begin{eqnarray*} y_0 \end{eqnarray*}$ einsetzen oder beides gleichzeitig?

07.01.2013, 03:10

Dopap

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du stellst Fragen verwirrt

verwirrt

da wo x steht kommt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ hin, da wo y stehen tut kommt $\begin{eqnarray*} y_0 \end{eqnarray*}$ hin.

z.B.
$\begin{eqnarray*} g_{xxx}(x_0,y_0)=e^{x_0}\sin(y_0) \end{eqnarray*}$

07.01.2013, 13:12

Alexandra Ardanex

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Somit hätten wir die Taylorreihe um $\begin{eqnarray*} (x_0, y_0) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} g(x,y)\approx e^{x_0}\sin(y_0)+g_x=e^{x_0}\sin(y_0)(x-x_0)+g_y=e^{x_0}\cos(y_0)(y-y_0)+ <br /> <br /> + \frac12 g_{xx}=e^{x_0}\sin(y_0)(x_0,y_0)(x-x_0)^2+ \frac12 g_{yy}=-e^{x_0}\sin(y_0)(y-y_0)^2 +g_{xy}=e^{x_0}\cos(y_0)(x-x_0)(y-y_0)+ <br /> + \frac 16 g_{xxx}=e^{x_0}\sin(y_0)(x-x_0)^3+ \frac 16 g_{yyy}=-e^{x_0}\cos(y_0)(y-y_0)^3 +<br /> + \frac12 g_{xxy}=e^{x_0}\cos(y_0)(x_0,y_0)(x-x_0)^2(y-y_0) + \frac12 g_{xyy}=-e^{x_0}\sin(y_0)(x_0,y_0)(x-x_0)(y-y_0)^2 \end{eqnarray*}$

Das wäre doch unsere Taylorreihe, wenn wir uns die Gleicheitszeichen wegdenken mit den $\begin{eqnarray*} g_x , g_y , g_{xx}. g_{yy} \end{eqnarray*}$ usw... hab es jetzt da nur stehen zu besseren Orientierung.

07.01.2013, 13:27

Alexandra Ardanex

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Damit wäre die a) abgehackt. Bei b) (i) jetzt das gleiche Prozedere nur mit späteren einsetzen von $\begin{eqnarray*} x_0=y_0=0 \end{eqnarray*}$ ?

07.01.2013, 13:47

Dopap

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ja,
jetzt etwas einfacher geschrieben, das Hoch Null soll andeuten, dass das Argument $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0) \end{eqnarray*}$
ist. In den Potenzen ist $\begin{eqnarray*} x_0=y_0=0 \end{eqnarray*}$ schon realisiert.

ausführlich:

$\begin{eqnarray*} f(x,y)\approx \frac {f^0}{0!} + \frac {f_x^0\cdot x+g_y^0\cdot y}{1!}+ <br /> <br /> + \frac {f_{xx}^0\cdot x^2+ f_{yy}^0\cdot y^2 + 2f_{xy}^0\cdot xy}{2!} \end{eqnarray*}$

07.01.2013, 13:57

Alexandra Ardanex

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Bis zur zweiten Ordnung wären die Ableitungen dann:

$\begin{eqnarray*} f_x=-2e^{-(x+y)^2}(x+y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{xx}=e^{-(x+y)^2}(4x^2+8xy+4y^2-2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_y=-2e^{-(x+y)^2}(x+y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{yy}=e^{-(x+y)^2}(4x^2+8xy+4y^2-2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{xy=yx}=e^{-(x+y)^2}(4x^2+8xy+4y^2-2) \end{eqnarray*}$

Das wären doch unsere Ableitungen bis zur zweiten Ordnung ?

07.01.2013, 14:50

Alexandra Ardanex

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Unsere Ableitungen für b) (i)

$\begin{eqnarray*} f_x=-2e^{-(x+y)^2}(x+y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{xx}=e^{-(x+y)^2}(4x^2+8xy+4y^2-2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_y=-2e^{-(x+y)^2}(x+y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{yy}=e^{-(x+y)^2}(4x^2+8xy+4y^2-2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{xy=yx}=e^{-(x+y)^2}(4x^2+8xy+4y^2-2) \end{eqnarray*}$

Eingesetzt in unsere Taylorreihe bekommen wir:

Unsere Taylorreihe für b) (i)

$\begin{eqnarray*} f(x,y)\approx \frac {f^0}{0!} + \frac {f_x^0\cdot x+g_y^0\cdot y}{1!}+ <br /> <br /> + \frac {f_{xx}^0\cdot x^2+ f_{yy}^0\cdot y^2 + 2f_{xy}^0\cdot xy}{2!}=\frac {1}{0!} + \frac {1\cdot x+1\cdot y}{1!}+ <br /> <br /> + \frac {-2\cdot x^2+ -2\cdot y^2 + 2\cdot(-2)\cdot xy}{2!} \end{eqnarray*}$

07.01.2013, 15:23

Dopap

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richtig!

Aber wie kann man sowas stehen lassen, das tut ja weh!

$\begin{eqnarray*} f(x,y)\approx-(x+y)^2 \end{eqnarray*}$

sieht doch schon wesentlich schöner aus.

07.01.2013, 15:30

Alexandra Ardanex

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Zitat:

Original von Dopap
$\begin{eqnarray*} f(x,y)\approx-(x+y)^2 \end{eqnarray*}$ .

Aber wieso lautet das Endergebnis so ?

$\begin{eqnarray*} f(x,y)\approx \frac {1}{0!} + \frac {1\cdot x+1\cdot y}{1!}+ <br /> <br /> + \frac {-2\cdot x^2+ -2\cdot y^2 + 2\cdot(-2)\cdot xy}{2!}=1+x+y-x^2-y^2-2xy \end{eqnarray*}$

Das ist doch nicht doch gleich dem obigen Zitat unglücklich

unglücklich

07.01.2013, 15:52

Dopap

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Sorry, hatte nur den 3. Summanden betrachtet unglücklich

unglücklich

Trotzdem ist es falsch:

$\begin{eqnarray*} f(x,y)\approx \frac {1}{0!} + \underbrace {\frac {1\cdot x+1\cdot y}{1!}}_{=0}+ <br /> <br /> + \frac {-2\cdot x^2+ -2\cdot y^2 + 2\cdot(-2)\cdot xy}{2!}=1+\underbrace{x+y}_{=0}-x^2-y^2-2xy \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} f_x(0,0)=f_y(0,0)=0 \end{eqnarray*}$ gilt

jetzt nochmal:

$\begin{eqnarray*} f(x,y)\approx 1-(x+y)^2 \end{eqnarray*}$

07.01.2013, 16:10

Alexandra Ardanex

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Zitat:

Original von Dopap

$\begin{eqnarray*} f(x,y)\approx \frac {1}{0!} + \underbrace {\frac {1\cdot x+1\cdot y}{1!}}_{=0}+ <br /> <br /> + \frac {-2\cdot x^2+ -2\cdot y^2 + 2\cdot(-2)\cdot xy}{2!}=1+\underbrace{x+y}_{=0}-x^2-y^2-2xy \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} f_x(0,0)=f_y(0,0)=0 \end{eqnarray*}$ gilt

jetzt nochmal:

$\begin{eqnarray*} f(x,y)\approx 1-(x+y)^2 \end{eqnarray*}$

Wieso ist denn $\begin{eqnarray*} \underbrace {\frac {1\cdot x+1\cdot y}{1!}}_{=0} \end{eqnarray*}$ Null ? Das sollte doch x+y sein für das x & das y wird doch nicht der Entwicklungspunkt eingesetzt ? Es ist doch $\begin{eqnarray*} (x-x_0) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} (y-y_0) \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

07.01.2013, 17:35

Alexandra Ardanex

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Schon mal vorgreifend die Ableitungen zu b) (ii)

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+xy}}=(1+xy)^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_x=-\frac{y}{2(xy+1)^{\frac{3}{2}}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_y=-\frac{x}{2(xy+1)^{\frac{3}{2}}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{xx}=\frac{3y^2}{4(xy+1)^{\frac{5}{2}}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{yy}=\frac{3x^2}{4(xy+1)^{\frac{5}{2}}} \end{eqnarray*}$

Das einzige Problem hatte ich jetzt bei $\begin{eqnarray*} f_{xy=yx} \end{eqnarray*}$

ich komme weder mit Produktregel noch mit Quotientenregel auf die Ableitung:

$\begin{eqnarray*} f_{yx=xy}=\frac{xy-2}{4(xy+1)^{\frac{5}{2}}} \end{eqnarray*}$

Z.B. Nach der Produktregel bleibe ich bei folgendem Schritt hängen

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2(1+xy)^{\frac{3}{2}}}+\frac{3xy}{4(1+xy)^{\frac{5}{2}}} \end{eqnarray*}$

07.01.2013, 18:53

Alexandra Ardanex

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Mag mir vielleicht jemand anders helfen solange Dopap nicht da ist Wink

Wink

smile

Wäre sehr seeeeehr dankbar.

07.01.2013, 19:15

Dopap

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$\begin{eqnarray*} f_x(x,y)=-2e^{-(x+y)^2}(x+y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_y(x,y)=-2e^{-(x+y)^2}(x+y) \end{eqnarray*}$

es gilt doch obige Funktionen an der Stelle (0,0) auszuwerten !

beide sind gleich und haben den Faktor (x+y)=(0+0) =0

Das mit der Auswertung ist doch dasselbe wie beim Taylor erster Ordnung: ( McLaurin Reihe )

$\begin{eqnarray*} \frac {f^{(k)}({\color{red}0})(x-0)^k}{k!} \end{eqnarray*}$

Aufgabe b) (ii) schau ich mir jetzt sofort an.

07.01.2013, 19:35

Alexandra Ardanex

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Oki recht herzlichen Dank. Das bei b) (i) habe ich jetzt verstanden. smile

smile

Bleibt nur noch die b) (ii).

07.01.2013, 19:39

Dopap

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Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
Schon mal vorgreifend die Ableitungen zu b) (ii)

Das einzige Problem hatte ich jetzt bei $\begin{eqnarray*} f_{xy=yx} \end{eqnarray*}$

ich komme weder mit Produktregel noch mit Quotientenregel auf die Ableitung:

$\begin{eqnarray*} f_{yx=xy}=\frac{xy-2}{4(xy+1)^{\frac{5}{2}}} \end{eqnarray*}$

Z.B. Nach der Produktregel bleibe ich bei folgendem Schritt hängen

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2(1+xy)^{\frac{3}{2}}}+\frac{3xy}{4(1+xy)^{\frac{5}{2}}} \end{eqnarray*}$

Aber wenigstens richtig. Da gibt es nicht viel zu überlegen, auf den Hauptnenner bringen, d.h.

den 1. Summanden mit ?? erweitern. Dann klappt es.

07.01.2013, 19:49

Che Netzer

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Zitat:

Original von Dopap
wie bekomme das linksbündig ?

Wir sollten eigentlich einen funktionierenden [la]-Tag haben, danach erkundige ich mich gleich mal.
Bisher kannst du den Befehl \end{eqnarray*}\begin{align*} am Anfang der LaTeX-Umgebung und \end{align*}\begin{eqnarray*} am Ende benutzen, also

code:
1:	[l]\end{eqnarray}\begin{align}...\end{align}\begin{eqnarray}[/l]

(mit funktionierendem [la] statt [l] wäre das nicht nötig)

Dahinein kannst du mit &-Zeichen formatieren.
Diese Zeichen trennen die Spalten, mit \\ wird eine neue Zeile begonnen.
Habe ich hier mal erklärt.
Jetzt könntest du folgendes in obige Vorlage schreiben:
g(x,y)&\approx e^{x_0}\sin(y_0)+g_x=e^{x_0}\sin(y_0)(x-x_0)+g_y=e^{x_0}\cos(y_0)(y-y_0)\\&+ \frac12 g_{xx}=e^{x_0}\sin(y_0)(x_0,y_0)(x-x_0)^2+ \frac12 g_{yy}=-e^{x_0}\sin(y_0)(y-y_0)^2 +g_{xy}=e^{x_0}\cos(y_0)(x-x_0)(y-y_0)\\& + \frac 16 g_{xxx}=e^{x_0}\sin(y_0)(x-x_0)^3+ \frac 16 g_{yyy}=-e^{x_0}\cos(y_0)(y-y_0)^3 \\& + \frac12 g_{xxy}=e^{x_0}\cos(y_0)(x_0,y_0)(x-x_0)^2(y-y_0) + \frac12 g_{xyy}=-e^{x_0}\sin(y_0)(x_0,y_0)(x-x_0)(y-y_0)^2
Also dein Code mit \\ statt Zeilenumbrüchen und einem entsprechenden Einzug in neuen Zeilen.

Damit erhältst du
$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}\begin{align*}g(x,y)&\approx e^{x_0}\sin(y_0)+g_x=e^{x_0}\sin(y_0)(x-x_0)+g_y=e^{x_0}\cos(y_0)(y-y_0)\\&+ \frac12 g_{xx}=e^{x_0}\sin(y_0)(x_0,y_0)(x-x_0)^2+ \frac12 g_{yy}=-e^{x_0}\sin(y_0)(y-y_0)^2 +g_{xy}=e^{x_0}\cos(y_0)(x-x_0)(y-y_0)\\& + \frac 16 g_{xxx}=e^{x_0}\sin(y_0)(x-x_0)^3+ \frac 16 g_{yyy}=-e^{x_0}\cos(y_0)(y-y_0)^3 \\& + \frac12 g_{xxy}=e^{x_0}\cos(y_0)(x_0,y_0)(x-x_0)^2(y-y_0) + \frac12 g_{xyy}=-e^{x_0}\sin(y_0)(x_0,y_0)(x-x_0)(y-y_0)^2 \end{align*}\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$
Kann auch nach Belieben anders formatiert werden.

Wenn alles einfach nur linksbündig sein soll, kannst du auch einfach eigene [latex]-/[l]-Klammern um jede Zeile setzen Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.01.2013, 19:50

Alexandra Ardanex

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$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2(1+xy)^{\frac{3}{2}}}+\frac{3xy}{4(1+xy)^{\frac{5}{2}}}=-\frac{2(1+xy)}{4(1+xy)^{\frac{5}{2}}}+\frac{3xy}{4(1+xy)^{\frac{5}{2}}}=\frac{xy-2}{4(1+xy)^{\frac{5}{2}}} \end{eqnarray*}$

Oki stimmt, ich hab's danke. Und nun ?

07.01.2013, 20:04

Dopap

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da war doch noch b)(ii)

Also dasselbe nochmal:

$\begin{eqnarray*} f(x,y)\approx \frac {f^0}{0!} + \frac {f_x^0\cdot x+g_y^0\cdot y}{1!}+ <br /> <br /> + \frac {f_{xx}^0\cdot x^2+ f_{yy}^0\cdot y^2 + 2f_{xy}^0\cdot xy}{2!} \end{eqnarray*}$

wiederum mit der Stelle (0,0) !!

07.01.2013, 20:10

Alexandra Ardanex

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Zitat:

Original von Dopap

$\begin{eqnarray*} f(x,y)\approx \frac {f^0}{0!} + \frac {f_x^0\cdot x+g_y^0\cdot y}{1!}+ <br /> <br /> + \frac {f_{xx}^0\cdot x^2+ f_{yy}^0\cdot y^2 + 2f_{xy}^0\cdot xy}{2!} \end{eqnarray*}$

Wieso $\begin{eqnarray*} \frac {f_x^0\cdot x+g_y^0\cdot y}{1!} \end{eqnarray*}$ Ist nen f gemeint anstelle des g's oder ?

07.01.2013, 20:15

Alexandra Ardanex

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1 kommt heraus ? Der Rest wird Null.

$\begin{eqnarray*} f(x,y)\approx \frac {f^0}{0!} + \frac {f_x^0\cdot x+g_y^0\cdot y}{1!}+ <br /> <br /> + \frac {f_{xx}^0\cdot x^2+ f_{yy}^0\cdot y^2 + 2f_{xy}^0\cdot xy}{2!}\approx 1 \end{eqnarray*}$

07.01.2013, 20:47

Alexandra Ardanex

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Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
$\begin{eqnarray*} f(x,y)\approx \frac {f^0}{0!} + \frac {f_x^0\cdot x+g_y^0\cdot y}{1!}+ <br /> <br /> + \frac {f_{xx}^0\cdot x^2+ f_{yy}^0\cdot y^2 + 2f_{xy}^0\cdot xy}{2!}\approx 1 \end{eqnarray*}$

Sorry korriegiere der letzte Term mit dem $\begin{eqnarray*} \frac{2f_{xy}^0\cdot xy}{2!} \end{eqnarray*}$ wird nicht Null sondern $\begin{eqnarray*} -\frac {1}{4}xy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x,y)\approx 1-\frac {1}{4}xy \end{eqnarray*}$

Ich hoffe es ist nun richtig Gott

Gott

?

07.01.2013, 21:05

Dopap

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manchmal ist es ganz gut etwas zu warten.

Nicht ganz richtig,

$\begin{eqnarray*} f(x,y)\approx 1-\frac 12 xy \end{eqnarray*}$

Fazit: 3.Ordnung ist umständlich vor allem in 3 Variablen!

Für 2. Ordnung ( Variablen egal ) funktionieren auch die Formeln mit Gradient und Hesse-Matrix aus dem Workschop von Cel.

07.01.2013, 21:10

Alexandra Ardanex

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Alles klar. Supi! smile

smile

Vielen Dank Gott

Gott

Augenzwinkern

07.01.2013, 21:13

Dopap

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etwas holprig, trotzdem gern geschehen. man hilft gerne wenn mitgearbeitet wird. Wink

Wink

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