Tangentialebene

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06.01.2013, 10:10	Monoid	Auf diesen Beitrag antworten »
Tangentialebene Hi, In dem neuen ( noch nicht aktuellen ) Monoid-Heft ist eine Aufgabe zu der Tangentialebene. Ich wusste nicht was das ist, aber habe mir kurz auf Wikipedia durchgelesen, was das ist. Nun bin ich auf die folgende Definition gestoßen: Es sei M eine Teilmenge des $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ eine reguläre Fläche und $\begin{eqnarray} p \in M \end{eqnarray}$ ein Punkt. Die Tangentialebene $\begin{eqnarray} T_p M \end{eqnarray}$ ist die Ebene durch p, die von den Geschwindigkeitsvektoren der durch p verlaufenden Wege aufgespannt wird. Nun habe ich versucht mir die abstrakte Definition vor zustellen. Aber erfolglos.... Ich kann mir irgendwie nicht wirkliches darunter vorstellen. Könntet ihr mir helfen? Danke im Vorraus!
06.01.2013, 11:41	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangentialebene Du kennst doch sicher Tangenten an Funktionsgraphen, oder? Das sind ja Geraden, die "tangential" an einer Kurve sind. Tangentialebenen sind etwas ganz ähnliches. Das sind Ebenen, die "tangential" an einer Fläche sind. "Tangential" bedeutet hier, dass sie im Berührpunkt etwa die gleiche "Steigung" besitzen. Wenn man also das Gebilde so dreht, dass die Tangentialebene horizontal ist und eine Murmel auf den Berührpunkt liegt, sollte sie liegenbleiben. Das wäre jetzt die anschauliche "Definition". Reicht dir die vielleicht schon?
06.01.2013, 11:56	Monoid	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangentialebene Was meinst du mit "im Berührpunkt die selbe Steigung"? Jedenfalls muss die Fläche regulär sein oder?
06.01.2013, 12:03	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangentialebene Ja, sonst kann man wie bei nichtdifferenzierbaren Funktionen keine eindeutige Tangentialebene finden. Vielleicht hilft es, einen Querschnitt zu betrachten: Du erhältst dann als Querschnitt der Fläche eine Kurve, die man lokal als Funktionsgraphen betrachten kann. Die Tangentialebene wird dann zu einer Geraden, die dieselbe Steigung wie dieser Graph haben soll. Oder nimm die Veranschaulichung mit der Murmel. Man kann die Fläche so drehen, dass etwas, dass auf dem Punkt $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ liegt, nicht wegrollt. Dann wählt man die Tangentialebene horizontal – also senkrecht zur Schwerkraft. Ein einfaches Beispiel ist eine Kugel. Stell dir also eine Kugel vor, die auf deinem Tisch liegt. Wenn du die Tangentialebene zum Punkt $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ suchst, drehst/rollst du die Kugel so, dass $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ ganz unten ist. Dann bildet die Tischfläche die Tangentialebene.
06.01.2013, 12:17	Monoid	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangentialebene Ja, der Boden ist die Tangentialebene zu einer Kugel. Aber wenn wir jetzt die Definition von Wiki ( s. meine 1. Beitrag ) nehmen. Die Geschwindikeitsvektoren der durch p verlaufenden Wege. Sie sind gerichtete, orientierte Strecken im Raum, die genauso so orientiert sind, wie die Wege. Aber warum sind (sollten ) die Wege durch p 2-dimensional sein? Oder sind generell 2-dimensionale Wege zu betrachten. P.S.: Mit 2-dimensionaler Weg meine ich einen Weg, der eine 2-dimensionale graphische Darstellung hat.
06.01.2013, 12:23	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangentialebene Die von dir gefundene Definition kann man so interpretieren: Du "läufst" (in Form einer Kurve in $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ ) auf der Fläche herum und insbesondere läufst du durch $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ . In dem Moment, in dem du $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ durchläufst, zeichnest du deinen Geschwindigkeitsvektor ein; der insbesondere in die Richtung zeigt, in die du gerade läufst. Alle solchen Vektoren zusammen ergeben die Tangentialebene. Diese Wege müssen aber nicht (global) in einem zweidimensionalen Koordinatensystem dargestellt werden können, sondern eher im dreidimensionalen, da sie ja auf die Fläche abbilden.
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06.01.2013, 12:29	Monoid	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangentialebene Also sind die Geschwindigkeitsvektoren in die selbe Richtung orientiert, in die nach der Durchquerung des Graphen eines Weges der Graph zeigt? Auch wenn du kurz danach in eine andere Richtung gehst? Und der Graph ist 2-dimensional zu betrachten oder?
06.01.2013, 12:31	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangentialebene Mit Geschwindigkeitsvektor ist hier die "momentane Bewegung" gemeint, d.h. es ist egal, ob man direkt danach die Richtung ändert (solange die Bewegung glatt ist). D.h. ein Geschwindigkeitsvektor zeigt immer in die Richtung, in die man sich gerade bewegt. Und welchen Graphen meinst du?
06.01.2013, 13:12	Monoid	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangentialebene Die Graphen der Wege. Naja, jedenfalls habe ich es verstanden! Danke!
06.01.2013, 13:28	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangentialebene Die Wege sind Abbildungen von einem Intervall in $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ (genauer: auf die betrachtete Fläche). Üblicherweise zeichnet man dann nur die Bildwerte ein. Würde man nach $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ abbilden, könnte das so aussehen:
06.01.2013, 14:06	Monoid	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangentialebene Ich dachte immer, dass ein Weg eine stetige Funktion von einem reelem Intervall in eine Menge ist. Und man müsste doch auch noch zeigen, dass eine Kugel eine reguläre Fläche ist. Da weiß ich nicht wirklich weiter.
06.01.2013, 14:14	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangentialebene Wir betrachten hier sogar nur differenzierbare Wege. Und in diesem Fall ist ein Weg nunmal eine Abbildung von einem Intervall nach $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ (vielleicht war die unglückliche Wortstellung das Problem, ich meinte kein "Intervall in $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ ). Die Kugel könnte man parametrisieren; diese Parametrisierung ist dann differenzierbar. Du kannst die Kugel auch als Mannigfaltigkeit auffassen und sie mit zwei Karten überdecken; eine Kugel ist sogar eine Riemannsche Fläche, was fast am einfachsten zu zeigen ist. Aber ich glaube kaum, dass du das benötigst. Wenn die Aufgabe auch ohne Differentialgeometrie lösbar ist, löse sie einfach; ansonsten glaube ich nicht, dass ich dir jetzt die komplette Theorie in einem einzelnen Thread erklären kann.

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