Reihe und Konvergenz 2 - Seite 3

06.01.2013, 20:31

Che Netzer

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Was steht nicht in der Aufgabe?

Und es ist ja $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty\left(\frac1k-\frac1{k+2}\right):=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\left(\frac1k-\frac1{k+2}\right) \end{eqnarray*}$ .
Um die Reihe also auf Konvergenz zu untersuchen (und ggf. den Wert zu bestimmen), kannst du den Grenzwert auf der rechten Seite zu bestimmen versuchen.

06.01.2013, 20:34

Chip2

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Soll ich dafür k gegen unendlich gehen lassen?

Dann bekomme ich 1/2 raus richtig?

06.01.2013, 20:35

Che Netzer

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Da steht genau, was gegen Unendlich gehen soll.

Und nochmal: Was steht nicht in der AUfgabe?

06.01.2013, 20:37

Chip2

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Die Aufgabenstellung lautet ja:

Entscheiden und begründen sie , ob die folgenden Reihen konvergieren und berechnen sie gegebenfalls deren Summe:

Und ich war mir nicht sicher ob man das auch mit induktion beweisen soll?

Ich dachte das man jetzt irgendwie versuchen muss die Summe zu berechnen.

06.01.2013, 20:41

Chip2

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Ok seis drum wie muss ich jetzt weiter vorgehen ?

Ist ja sowieso lernen.

06.01.2013, 20:43

Che Netzer

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Per Induktion müsste man beweisen, dass
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n\left(\frac1k-\frac1{k+2}\right)=1+\frac12-\frac1{n+1}-\frac1{n+2}\,. \end{eqnarray*}$

Danach kann man mithilfe dieser Formel
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty\left(\frac1k-\frac1{k+2}\right):=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\left(\frac1k-\frac1{k+2}\right) \end{eqnarray*}$
bestimmen, d.h. bestimmen, ob der Grenzwert existiert und den ggf. gleich ausrechnen.

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06.01.2013, 20:47

Chip2

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Ok zuerst überprüfe ich ob die Bedingung wahr ist.

Für n= 1 ist die Bedingung wahr.

Aber jetzt wirds schwierig für mich.

Jetzt bei dem Induktionsschritt habe ich probleme.

Jetzt brauch ich paar tips

06.01.2013, 20:48

Che Netzer

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Was ist denn die Induktionsvoraussetzung und was möchtest du im Induktionsschritt zeigen?

06.01.2013, 20:50

Chip2

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Im Induktionsschritt muss ich zeigen ,dass es für n+1 gilt.

06.01.2013, 20:53

Che Netzer

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Das beantwortet nicht die Frage nach der Voraussetzung? Und was genau soll im Induktionsschritt gezeigt werden?

06.01.2013, 20:54

Chip2

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Müsste der Induktionsschritt nicht in etwa so aussehen ?

06.01.2013, 20:56

Che Netzer

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Nein. Links muss $\begin{eqnarray*} \left(\frac1k-\frac1{k+2}\right) \end{eqnarray*}$ der Summand sein, nicht $\begin{eqnarray*} \frac1{n+1}-\frac1{n+3} \end{eqnarray*}$ , rechts musst du auch $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ benutzen.

06.01.2013, 20:59

Chip2

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Jetzt müsste es stimmen .

Wie gehe ich jetzt weiter vor?

06.01.2013, 21:01

Che Netzer

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Jetzt fehlen links noch die Klammern.

Du hast allerdings immer noch nicht die Frage nach der Induktionsvoraussetzung beantwortet.

06.01.2013, 21:05

Chip2

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Ich habs nochmal korrigiert.

Bei der voraussetzung schaut man ja ob die bedingung für n wahr ist.

Und das ist sie ja für n = 1 ?

Wie gehe ich weiter vor?

06.01.2013, 21:08

Che Netzer

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Bei der Induktionsvoraussetzung nimmt man an, dass die Behauptung für ein (beliebiges, aber festes) $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ wahr ist.
Schreibe also mal explizit auf, wie die Induktionsvoraussetzugn lautet. Unter der Annahme, dass diese gilt, sollst du dann das zeigen, was du gerade ins Bildchen gekritzelt hast.

06.01.2013, 21:11

Chip2

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Ich hoffe die vorraussetzung ist richtig?

Stimmts?

06.01.2013, 21:13

Che Netzer

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Ja. Und jetzt führe den Induktionsschritt durch, wobei du dafür diese Voraussetzung benutzen kannst.

06.01.2013, 21:18

Chip2

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Gut dann hätte ich das

Die brüche jetzt irgendwie gleich zu machen müsste ichdoch irgendwie +1 dazu addieren .

Wie mache ich das nur?

06.01.2013, 21:21

Che Netzer

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Woher kommt das Ding auf der linken Seite?

06.01.2013, 21:23

Chip2

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Ich hab das durch meine Voraussetzung ersetzt:

Hattest du nicht das gemeint?

06.01.2013, 21:26

Che Netzer

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Aber was genau hast du wodurch ersetzt? Sieh dir genau an, wie die Voraussetzung lautet.

06.01.2013, 21:29

Chip2

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Tut mir leid jetzt verstehe ich nicht mehr was ich machen soll?

06.01.2013, 21:34

Che Netzer

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Du meinst, du hättest die Induktionsvoraussetzung benutzt. Wie genau lautet die aber?

06.01.2013, 21:37

Chip2

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Die hatte ichdoch gepostet oder war sie falsch?

06.01.2013, 21:41

Che Netzer

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Doch, die stimmte schon. Aber wieso glaubst du, die sofort anwenden zu können?

Du hast eine Darstellung für $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n\left(\frac1k-\frac1{k+2}\right) \end{eqnarray*}$ .
Im Induktionsschritt musst du aber etwas mit $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}\left(\frac1k-\frac1{k+2}\right) \end{eqnarray*}$ anfangen.

06.01.2013, 21:41

Chip2

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Oh man was mache ich jetzt .
Bitte helf mir.

06.01.2013, 21:43

Chip2

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Da setze ich für das k : n+1 ein oder ?

06.01.2013, 21:43

Che Netzer

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Zitat:

Original von Chip2
Oh man was mache ich jetzt .
Bitte helf mir.

Solche Beiträge sind übrigens vollkommen überflüssig. Du kannst auch ruhig mal eigene Ideen liefern und ich versuche ja schon, dir zu helfen...

06.01.2013, 21:45

Che Netzer

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Zitat:

Original von Chip2
Da setze ich für das k : n+1 ein oder ?

Nein. Versuche, $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}\left(\frac1k-\frac1{k+2}\right) \end{eqnarray*}$ in eine Form zu bringen, in der du die Induktionsvoraussetzung anwenden kannst.

06.01.2013, 21:49

Chip2

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Irgendwie so?

06.01.2013, 21:56

Che Netzer

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Was du da auf der linken Seite veranstaltest, ist mir vollkommen unklar.
Wieso steht vor allem das Summenzeichen noch dort.

Naja, wenn du den Term $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}\left(\frac1k-\frac1{k+2}\right) \end{eqnarray*}$ siehst, was stört dich dann, wenn du etwas bekanntes über $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n\left(\frac1k-\frac1{k+2}\right) \end{eqnarray*}$ anwenden möchtest?

06.01.2013, 21:57

Chip2

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Das Summenzeichen oder?

06.01.2013, 21:58

Che Netzer

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Nein, das taucht ja in beiden Termen auf.

06.01.2013, 22:00

Chip2

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Ja aber bei dem einen summenzeichen steht n und über das andere n+1.

Was soll ich jetzt nun machen?

06.01.2013, 22:01

Che Netzer

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Du könntest den $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ -ten Summanden abtrennen. Dann bleibt der bekannte Term übrig.

06.01.2013, 22:04

Chip2

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Tut mir leid das verstehe ich jetzt nicht.

Was meinst du genau?

06.01.2013, 22:08

Chip2

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Ach ich glaube ich verstehe das.

Soll ich jetzt die +1 weglassen oder wie?

Oder ist der Weg sowieso falsch?

06.01.2013, 22:08

Che Netzer

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}\left(\frac1k-\frac1{k+2}\right) \end{eqnarray*}$ ist eine Summe von $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ Termen. Wir hätten aber viel lieber nur $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Summanden. Also trennen wir den letzten ab.

06.01.2013, 22:11

Chip2

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Soll ich jetzt also 1/n oder 1/k im Induktionsschritt benutzen?

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