Konvergiert diese Reihe?

06.01.2013, 13:04	Tanni1	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergiert diese Reihe? Meine Frage: Habe ein paar Aufgaben zu erledigen, bei einer davon muss ich feststellen, ob folgende Reihe konvergiert: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty (\sqrt[n]{a} - 1) \end{eqnarray}$ , a>0. Ich komme leider nicht so recht mit der Wurzel klar. Wäre sehr dankbar über ein wenig Hilfe Meine Ideen: Habe es schon mit ein paar Kriterien versucht, passt leider alles nicht...
06.01.2013, 13:11	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst einmal reicht es den Fall $\begin{eqnarray} a > 1 \end{eqnarray}$ zu betrachten. Wenn du die Abschätzung $\begin{eqnarray} \ln x \leq x-1 \end{eqnarray}$ bereits kennst, geht es nun recht schnell.
06.01.2013, 13:19	Tanni1	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, bin mir leider relativ sicher, dass ich diese Abschätzung noch nicht kennenlernen durfte...
06.01.2013, 13:51	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. Was kennst du denn so? Ist dir $\begin{eqnarray} \left( 1+ \frac{x}{n} \right)^n \to e^x \end{eqnarray}$ bekannt?
06.01.2013, 15:48	Tanni1	Auf diesen Beitrag antworten »
Nope... Leibniz-, Quotienten-, Wurzel-, Trivialkriterium, Bernoulli-Ungleichung, Majorantenkriterium.. Harmonische und geometrische Reihe.. Das Zeug, aber sonst ist m
06.01.2013, 17:19	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Das macht die Sache natürlich etwas komplizierter. Das Sandwhich (das du leider nicht benutzen darfst) $\begin{eqnarray} \frac{\ln a}{n} \leq \sqrt[n]{a}-1 \leq \frac{a}{n} \end{eqnarray}$ ist leider ein Indiz dafür, dass es recht schwer werden wird, die Aufgabe ohne Kenntnis von exp und log anzugehen. Aber wir kriegen das schon hin: Wir brauchen die folgende Aussage: Ist $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ eine positive Nullfolge, so konvergiert $\begin{eqnarray} \left(1+\frac{x_n}{n}\right)^n \end{eqnarray}$ gegen 1. Zunächst sehen wir, dass die Aussage wegen $\begin{eqnarray} 1 \geq \left(1-\frac{x_n}{n}\right)^n \geq 1-x_n \end{eqnarray}$ (Bernoulli) für negative Nullfolgen gilt. Die Aussage für unsere positive Nullfolge erhält man dann via $\begin{eqnarray} \left(1+\frac{x_n}{n}\right)^n = \frac{\left(1-\frac{x_n^2}{n^2}\right)^n}{\left(1-\frac{x_n}{n}\right)^n} \end{eqnarray}$ . Das können wir nun wie folgt ausnutzen: Ist $\begin{eqnarray} a > 1 \end{eqnarray}$ , so ist $\begin{eqnarray} a_n := \sqrt[n]{a}-1 \end{eqnarray}$ eine positive Folge. Es gilt nun $\begin{eqnarray} a = \left( 1+\frac{na_n}{n} \right)^n \end{eqnarray}$ . Was schließt du hieraus für die Folge $\begin{eqnarray} na_n \end{eqnarray}$ ?
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