Lineare Abbildungen (Injektivität, Surjektivität, Bijektivität) |
| 06.01.2013, 15:47 | MathePaul123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Lineare Abbildungen (Injektivität, Surjektivität, Bijektivität) hallo Leute, ich komm leider nicht weiter ;-) Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum, T: V -> V eine lineare Abbildung. Dann ist T genau dann injektiv, wenn T surjektiv ist. Ich soll sagen, ob die Aussage richtig oder falsch ist und meine Antwort begründen. Meine Ideen: Bei Injektivität bilde ich aus der Definitionsmenge je ein Element in die Zielmenge ab. In der Zielmenge können jedoch Elemente undabgebildet bleiben. Wenn jetzt die Abbildung surjektiv ist dann bilde ich ja aus der Definitionsmenge, mehrere Elemente auf ein Element in der Zielmenge ab. Somit kann doch die Abbildung nicht gleichzeitig injektiv sein oder? Viele Grüße |
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| 06.01.2013, 16:28 | ImbaMario | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie äußern sich denn Injektivität und Surjektivität beim Kern und Bild von ? Es könnte noch wichtig sein, dass endlich-dimensional ist, denk doch mal an etwaige Dimensionsformeln 
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| 06.01.2013, 16:31 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Tatsächlich gilt die Aussage in unendlichdimensionalen Vektorräumen im allgemeinen nicht. |
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| 06.01.2013, 17:06 | MathePaul | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
 http://upload.wikimedia.org/math/2/6/2/2623bbe2cf033fa59c070bab3d62a21b.png aber was mit Injektivität und Surjektivität es damit zu tun hat, versteh ich irgendwie nicht. Ich kann ja den Kern und das Bild gar nicht bestimmen, weil ich ja auch gar keine Abbildung gegeben hab oder? Helft mir ein bisschen auf die Sprünge bitte 
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| 06.01.2013, 17:26 | ImbaMario | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast immernoch nicht die Frage beantwortet, wie Injektivität/Surjektivität und Kern/Bild zusammenhängen (hierin liegt der Knackpunkt). |
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| 06.01.2013, 18:10 | MathePaul | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
habe es mittlerweile fast geschafft, aber wie zeige ich dass aus dim V = dim Bild(T) die Surjektivität folgt? |
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| 06.01.2013, 18:15 | ImbaMario | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ist ein Untervektorraum von V und wie du gezeigt hast, haben und V dieselbe Dimension. Was lässt sich denn dann über unser Bild sagen?
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