trigonometrischer Pythagoras - Seite 2

07.01.2013, 20:26	Belleci	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich muss jetzt für $\begin{eqnarray} a,b,c,d= 0 \end{eqnarray}$ einsetzen oder verstehe ich das nur gerade wieder nicht richtig? Dann hätte man $\begin{eqnarray} (0+0-0)sin^2(3x)+(0+0+0)cos^2(3x)+(0-0)cos(2x)=0 \end{eqnarray*}$ Da kommt ja 0=0 raus, weil ja alles mit 0 multipliziert wird.
07.01.2013, 21:20	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Dir ist anscheinend der Begriff der linearen (Un-)Abhängigkeit nicht besonders vertraut. Wir wollen unsere Linearkombination der vier Funktionen gleich Null setzen. Dazu müssen nach der Umformung jeweils die Koeffizienten vor $\begin{eqnarray} \sin^2(3x) \end{eqnarray}$ , vor $\begin{eqnarray} \cos^2(3x) \end{eqnarray}$ und vor $\begin{eqnarray} \cos(2x) \end{eqnarray}$ Null sein. Also die bisherige Gleichung. Jetzt suchen wir $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ so, dass die Gleichung erfüllt ist. Und wenn es dafür eine nichttriviale Lösung (also nicht $\begin{eqnarray} a=b=c=d=0 \end{eqnarray}$ ) gibt, sind die Funktionen linear abhängig.
07.01.2013, 21:28	Belleci	Auf diesen Beitrag antworten »
Aaaah, ich weiß jetzt glaube, was du meinst. Z.B. $\begin{eqnarray} a=b=1, c=2, d=-2 \end{eqnarray}$ dann hat man [atex](1+1-2)sin^2(3x)+(1+1+(-2))cos^2(3x)+(1-1)cos(2x)=0[/latex] das wäre dann $\begin{eqnarray} 0=0 \end{eqnarray*}$
07.01.2013, 21:34	Belleci	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} <br /> 1. 0=a-b<br /> 2. 0= a+b+d<br /> 3. 0=a+b-c<br /> <br /> 1. a=b<br /> <br /> 1. in 2.<br /> 0=a+a+d<br /> -d=2a<br /> <br /> 1. in 3.<br /> 0=a+a-c<br /> c=2a<br /> \end{eqnarray}$
07.01.2013, 21:39	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt zwar, aber es geht noch einfacher: Es gibt vier Variablen und drei Gleichungen (die rechte Seite ist Null), also hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. Ähnlich kann man auch direkt vorgehen, also ohne Equesters Gleichungssystem. Wenn man $\begin{eqnarray} \end{eqnarray}\begin{align}f_1(x)&=\sin^2(3x)+\cos^2(3x)+\cos(2x)&f_2(x)&=\sin^2(3x)+\cos^2(3x)-\cos(2x)\\f_3(x)&=-\sin^2(3x)&f_4(x)&=\cos^2(3x)\end{align}\begin{eqnarray} \end{eqnarray}$ betrachtet, sieht man, dass sich alle vier Funktionen als Linearkombinationen der drei Funktionen $\begin{eqnarray} \cos^2(3x) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \sin^2(3x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \cos(2x) \end{eqnarray}$ darstellen lassen. Ganz egal, ob diese drei Funktionen nun linear unabhängig sind, können es nicht alle vier sein, da der Raum, den die drei Funktionen aufspannen, maximal dreidimensional ist.
07.01.2013, 21:47	Belleci	Auf diesen Beitrag antworten »
Also dein letztes war mir mal wieder etwas zu hoch. ^^ Ich nehme dann doch lieber den längeren Weg. Aber trotzdem vielen, vielen, vielen Dank, dass du die Geduld hattest mir zu helfen.
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