Normierung der Exponentialfunktion

06.01.2013, 17:58

magMathe

Normierung der Exponentialfunktion

Hallo Leute,

ich möchte die Lösung der Aufgabe

Zitat:

Normieren Sie die Funktion $\begin{eqnarray*} \psi_{k} (x) = e^{ikx} \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} < \psi_{k} | \psi_{l} = \delta_{kl} \end{eqnarray*}$

.

Die Formel zur Normierung lautet

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 1=\int_{-\infty}^\infty \! | \psi(x) |^{2} \, dx \end{eqnarray*}$

, eingesetzt
$\begin{eqnarray*} 1=\int_{-\infty}^\infty \! | e^{ikx} |^{2} \, dx = \frac{1}{2ik} \left[ e^{2ikx}\right]_{-\infty}^{\infty }= \frac{e^{2ikx}}{2ik} \end{eqnarray*}$ (der zweite Summand geht gg. 0, da e^(-unendlich))

Nach x umgestellt ergäbe das $\begin{eqnarray*} x = \frac{ln(2ik)}{2ik} \end{eqnarray*}$ und wieder eingesetzt: $\begin{eqnarray*} \psi_{k} (x) = e^{ik*{\frac{ln(2ik)}{2ik}}} = e^{\frac{ln(2ik)}{2}} = \sqrt{2ik} \end{eqnarray*}$

Die richtige Lösung muss aber lauten: $\begin{eqnarray*} \psi_{k} (x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi } }e^{ikx} \end{eqnarray*}$ .

Wie ist der richtige Rechenweg?

06.01.2013, 18:25

komplexer

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RE: Normierung der Exponentialfunktion

Zitat:

Original von magMathe
Die Formel zur Normierung lautet

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 1=\int_{-\infty}^\infty \! | \psi(x) |^{2} \, dx \end{eqnarray*}$

Berechne mal:
$\begin{eqnarray*} |e^{ikx}| \end{eqnarray*}$
und denk dann nochmal über Dein Integral nach.

Zitat:

Original von magMathe
Die richtige Lösung muss aber lauten: $\begin{eqnarray*} \psi_{k} (x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi } }e^{ikx} \end{eqnarray*}$ .

Wie ist der richtige Rechenweg?

Kann es sein, dass Du uns die vollständige Aufgabenstellung vorenthältst? Es sieht ganz danach aus, als würdest Du die Wellenfkt. eines Teilchens im 1D Potentialtopf berechnen wollen.
Mit Deinen Angaben die Aufgabe nicht zu lösen. Wenn Du
$\begin{eqnarray*} |e^{ikx}| \end{eqnarray*}$
berechnet hast, wirst Du sehen warum.

06.01.2013, 18:48

magMathe

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Die ganze Aufgabe im Anhang.

Nunja, die komplexe e-Funktion in Betragsstrichen, ist doch $\begin{eqnarray*} e^{Im*z} \end{eqnarray*}$ , oder?! Oder willst Du darauf hinaus, dass $\begin{eqnarray*} | e^{ikx} | = \int_{-1}^1 \! e^{ikx} \, dx = \frac{e^{ik}-e^{-ik}}{ik} \end{eqnarray*}$ ?

Ich bin gerade bei Gram-Schmidt, ich hoffe, ich werfe nichts durcheinander. Das kann ich ja jetzt nicht mehr integrieren, weil das "x" weg ist...

06.01.2013, 19:35

komplexer

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Zitat:

Original von magMathe
Nunja, die komplexe e-Funktion in Betragsstrichen, ist doch $\begin{eqnarray*} e^{Im*z} \end{eqnarray*}$ , oder?! Oder willst Du darauf hinaus, dass $\begin{eqnarray*} | e^{ikx} | = \int_{-1}^1 \! e^{ikx} \, dx = \frac{e^{ik}-e^{-ik}}{ik} \end{eqnarray*}$ ?

Nein, es ist:
$\begin{eqnarray*} |e^{ikx}|=1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von magMathe
Die ganze Aufgabe im Anhang.

Das sieht ja schon ganz anders aus. Über ein Intervall der Länge 2pi zu integrieren ist was anderes als über alle rellen Zahlen...
Nimm
$\begin{eqnarray*} \varphi_k(x)=Ae^{ikx} \end{eqnarray*}$
Sonst kannst Du nichts normieren.

06.01.2013, 19:49

magMathe

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Ist e^(ikx) immer 1?

Aber es soll doch nur die Funktion normiert werden, und die hat doch nichts mit 2pi zu tun, oder?! Wie komme ich denn nun auf mein gewünschtes Ergebnis, also auf $\begin{eqnarray*} A= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \end{eqnarray*}$ ?

07.01.2013, 17:47

komplexer

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Zitat:

Original von magMathe
Ist e^(ikx) immer 1?

Nein, das gilt außer in Spezialfällen nie! Aber:
$\begin{eqnarray*} |e^{ikx}|=1 \end{eqnarray*}$
gilt immer, rechne es doch nach.

Zitat:

Original von magMathe
Aber es soll doch nur die Funktion normiert werden, und die hat doch nichts mit 2pi zu tun, oder?!

Sollte die Aufgabe tatsächlich heißen: Normiere die Funktion
$\begin{eqnarray*} \varphi_k(x)=e^{ikx} \end{eqnarray*}$
dann ist die Aufgabe Schwachsinn, denn der Integrad wird zu 1 und da gibt es nichts zu normieren!

Zitat:

Original von magMathe
Wie komme ich denn nun auf mein gewünschtes Ergebnis, also auf $\begin{eqnarray*} A= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \end{eqnarray*}$ ?

Löse die Gleichung:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2\pi} \! |Ae^{ikx}|^{2} \, \mathrm{d}x=1 \end{eqnarray*}$
nach A

07.01.2013, 23:04

magMathe

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$\begin{eqnarray*} 1 = \int_{0}^{2\pi} \! |Ae^{ikx}|^{2} \, \mathrm{d}x= \int_{0}^{2\pi} \! |A*1|^{2} \, \mathrm{d}x = \int_{0}^{2\pi} \! |A|^{2} \, \mathrm{d}x = A^2*2\pi - A^2*0 = A^2*2\pi<br /> <br /> \Rightarrow A = \sqrt{\frac{1}{2\pi} } \end{eqnarray*}$

Und jetzt steht die Wurzel nicht nur im Nenner, sondern um den ganzen Bruch. traurig