quadratische Betrags Ungleichung

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06.01.2013, 18:01	supekelle	Auf diesen Beitrag antworten »
quadratische Betrags Ungleichung Meine Frage: Für folgende Betragsungleichung \|x^2-x-2 \| < 13/2-\|x-1/2\| suche ich die Lösungsmenge in den reellen Zahlen. Jedoch werden Lösungen für -1 < x < 2 zu komplexen Zahlen. Wie kriege ich die Lösungsmenge in R? Meine Ideen: Kann ich einfach nur den Realteil der jeweiligen Lösung betrachten ? Oder ist das falsch oder schlicht ungenau? Wie mache ich es sonst ? Und vorallem wie schreibe ich es richtig auf ?
06.01.2013, 18:35	supekelle	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \| x^{2} - x-2 \| <\frac{13}{2} -\| x-\frac{1}{2} \| \end{eqnarray}$ Nochmal in schön ^^
06.01.2013, 19:13	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Weshalb sollte es nur komplexe Lösungen geben? Setze doch einmal x = 0 ein! Die Ungleichung ist in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ zu lösen, also sollst du auch nur reelle Lösungen berücksichtigen! Teile den Definitionsbereich der Ungleichung ( $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ) in Intervalle, welche von den Nullstellen des quadratischen Polynoms und der Stelle des Vorzeichenwechsels von x - 1/2 bestimmt werden und bestimme dann für jedes Intervall die Teil-Lösungsmengen. mY+
06.01.2013, 19:40	supekelle	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich zeig dir mal den fall den ich meine .oder hab ich da falsch gerechnet ? Danke schon im vorraus.
06.01.2013, 19:43	supekelle	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahhhrg das ungleichungssymbol sollte sich umdrehen.... aber ändert nichts am problem
06.01.2013, 20:59	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst - wenn die quadratische Gleichung nur komplexe, also keine reellen Nullstellen hat - das Vorzeichen der Elemente der Wertemenge des GANZEN Polynomes in dem betreffenden Intervall betrachten! Edit: Fehler beheben ... mY+
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06.01.2013, 21:12	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst - wenn die quadratische Gleichung nur komplexe, also keine reellen Nullstellen hat - das Vorzeichen der Elemente der Wertemenge des GANZEN Polynomes in dem betreffenden Intervall betrachten! $\begin{eqnarray} x^2 - 2x + 5 > 0 \end{eqnarray}$ Da es hier keine reellen Nullstellen gibt, kann die Wertemenge entweder aus nur negativen oder nur positiven Zahlen bestehen. Wir sehen sofort, dass nur Letzteres der Fall sein kann, also ist die gesamte Definitionsmenge auch Lösungsmenge dieser Ungleichung. mY+
06.01.2013, 21:36	supekelle	Auf diesen Beitrag antworten »
Versteh ich nicht. kannst du vielleicht einmal den rechnerischen lösungsweg posten? Dann kann ich es vielleicht nachvollziehen.
06.01.2013, 21:58	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass du das Ungleichheitszeichen in deinem Scan falsch hast, ist fatal, denn dadurch bekommst du eine leere Lösungsmenge. In Wirklichkeit gilt: $\begin{eqnarray} x^2 - 2x + 5 \color{red}> \color{black} 0 \end{eqnarray}$ Die zugehörige Gleichung hat keine reellen Nullstellen. Wie dann vorzugehen ist, habe ich dir doch vordem genau beschrieben. Sogar mittels eines Graphen illustriert. Was verstehtst du nun genau noch nicht? mY+
07.01.2013, 12:21	supekelle	Auf diesen Beitrag antworten »
ok doch habs heute morgen nach ner runde schlaf dann doch recht schnell begriffen^^ aber kann ich das mathematisch irgendwie aufschreiben dass iin diesem bereich alle werte über 0 sind ? ich meine normalerweise bekäme ich ja eine ungleichung der form x<2 woraus folgt dass die eigentliche ungleichung für 0.5 <= x< 2 gilt. was würde ich im klausurfall aufschreiben ? einfach einen kurzen satz schreiben? vielleicht steh ich auch auf dem schlauch. die mathematik war bisher selten mein freund :P
07.01.2013, 15:15	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Um die Positivität im gesamten Definitionsbereich zu zeigen, kann man das (einzige) relative Minimum der Funktion berechnen. Es liegt bei x = 1, und der Funktionswert ist 4. Alle anderen Funktionswerte sind größer als 4. Der Beweis lässt sich natürlich auch noch anders führen, dazu formt man die Ungleichung mittels der quadratischen Ergänzung etwas um: $\begin{eqnarray} x^2 - 2x + 5 > 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^2 - 2x > -5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^2 - 2x + 1 > -4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x - 1)^2 > -4 \end{eqnarray}$ Und das ist sicher immer der Fall mY+
07.01.2013, 16:03	supekelle	Auf diesen Beitrag antworten »
jo das ergibt sinn danke vielmals^^

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