Konvergenz von Reihen

06.01.2013, 18:19

MatheNoob27

Konvergenz von Reihen

Hallo, ich hätte mal eine Frage:
Und zwar weis ich einfach nicht mit welchen Kriterien ich diese Reihen beweisen soll:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n ((2k-2)/(3k+4)*3^k) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n ((4k-2/(3k^2+1))*(1/2)^k) \end{eqnarray*}$

Könnte mir vllt jemand verraten was ich da anwenden muss und wie?

mfg

06.01.2013, 20:22

Jello Biafra

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RE: Konvergenz von Reihen
Schätze gegen geeignete geometrische Reihen ab. Dabei solltest Du versuchen die Brüche loszuwerden.

06.01.2013, 20:49

MatheNoob27

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Hmmm und wie soll ich das als geometrischeReihe darstellen?

06.01.2013, 22:24

Jello Biafra

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Denk Dir bei den Summanden beider Reihen mal die Brüche weg, dann stehen doch geom. Reihen da.

08.01.2013, 21:26

MatheNoob27

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RE: Konvergenz von Reihen
Jop, danke habe ich auch bemerkt smile

Habe jetzt nur etwas Probleme beim Umformen.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n ((4k-2/(3k^2+1))*(1/2)^k) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n (4/3(k-(2/4)/(k^2+(1/3)))*(1/2)^k) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n (4/3 (1*(k-(2/4))/(k+(1/3)*(k-1/3)))*(1/2)^k) \end{eqnarray*}$

, okay das passt nicht ich sehe einfach nicht wo ich da kürzen kann.
Naja unten kann ich ja so umformen, aber oben finde ich nichts.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n ((4k-2/3*((k+1)(k-1)))*(1/2)^k) \end{eqnarray*}$

09.01.2013, 08:52

klarsoweit

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RE: Konvergenz von Reihen
Bei der ersten Reihe kannst du mal prüfen, ob die Summanden gegen Null konvergieren.
Bei der zweiten Reihe kannst du dir überlegen, daß der Bruch gegen Null konvergiert und somit irgendwann kleiner als 1 ist. Alternativ geht auch das Quotientenkriterium.

09.01.2013, 13:19

MatheNoob27

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Das die erste Divergiert ist inzwischen klar.

Was meinst du mit:

Zitat:

Bei der zweiten Reihe kannst du dir überlegen, daß der Bruch gegen Null konvergiert und somit irgendwann kleiner als 1 ist

Mir ist klar, dass es eine Nullfolge sein muss, damit die Reihe konvergieren kann.
Somit kleiner als 1?

Okay, ich werd dann auch mal das QKrit versuchen, aber mich würde trotzdem noch interessieren wie ich die zweite korrekt für die geom umforme?

09.01.2013, 13:48

klarsoweit

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RE: Konvergenz von Reihen
Also bei $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{4k-2}{3k^2+1} \cdot (\frac 1 2)^k \end{eqnarray*}$ hast du zwei Möglichkeiten:

1. Quotientenkriterium anwenden

2. Zu der Reihe eine konvergente Majorante (beispielsweise könnte das $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n (\frac 1 2)^k \end{eqnarray*}$ sein) finden.

Also mußt du den Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{4k-2}{3k^2+1} \end{eqnarray*}$ geeignet nach oben abschätzen. Dafür hast du wiederum zwei Möglichkeiten:

1. ganz brutal: $\begin{eqnarray*} \frac{4k-2}{3k^2+1} \leq \frac{4k}{3k^2} = \frac{4}{3k}\leq \frac 4 3 \end{eqnarray*}$

2. die Tatsache verwenden, daß der Bruch gegen Null konvergiert und somit ab irgendeinem k dauerhaft kleiner 1 ist. Also ist bis auf endlich viele Summanden (die man bei der Konvergenzbetrachtung ignorieren kann) $\begin{eqnarray*} \frac{4k-2}{3k^2+1} \leq 1 \end{eqnarray*}$ .

Im übrigen muß der Faktor $\begin{eqnarray*} (\frac 1 2)^k \end{eqnarray*}$ nicht zwingend gegen Null konvergieren. Auch $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k^{2013} \cdot (\frac 1 2)^k \end{eqnarray*}$ ist eine konvergente Reihe. Augenzwinkern

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