Taylor Entwicklung - GW

06.01.2013, 18:32

mbbm

Taylor Entwicklung - GW

Hallo Leute,

ich soll den folgenden Grenzwert mittels Taylor Entwicklung berechnen. Leider habe ich aber keine Ahnung wie das gehen soll. Wäre wirklich super, wenn mir hierbei jemand helfen könnte.

Hier der Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{log(1+x^2)}{\sqrt{1-x^2} - cos(2x)} \end{eqnarray*}$

mfg

06.01.2013, 18:46

zyko

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RE: Taylor Entwicklung - GW

Zitat:

Original von mbbm

Hier der Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{log(1+x^2)}{\sqrt{1-x^2} - cos(2x)} \end{eqnarray*}$

mfg

Bestimme die Taylorentwicklumgen für die drei Funktionen $\begin{eqnarray*} log(1+x^2) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \sqrt{1-x^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} cos(2x) \end{eqnarray*}$ . Schreibe die ersten Terme in die LimesBerechnung, kürze soweit möglich und entscheide gegen welchen Wert der Limes strebt.

06.01.2013, 19:40

mbbm

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RE: Taylor Entwicklung - GW
Leider scheitert es aber hierbei schon.

Könnten wir das vl. an einen einfachen Fall durchgehen.

Also ich weiß, dass man eine Funktion durch ein Taylor Polynom und ein Restglied approximieren kann. Lässt man allerdings die Summe des Taylor Polynoms gegen unendlich streben, dann fällt das Restglied weg. Aber wie ich das nun in der Praxis anwende, weiß ich leider nicht.

07.01.2013, 12:59

zyko

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RE: Taylor Entwicklung - GW
Da du den Grenzwert
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{h(x)-g(x)} \end{eqnarray*}$
konvergieren alle Terme, die x enthalten gegen 0. Da hier aber auch Funktionen im Nenner stehen, benötigt man evtl. doch die ersten zwei/drei Terme der drei Funktionen. Jetzt x soweit möglich kürzen und danach x=0 setzen. Was entsteht dann?

Es müssen soviel Terme der Taylorreihen geschrieben werden, dass man nach dem Kürzen keinen Grenzwert mehr erhält mit der Form $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ .

Einfaches Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{1+\frac{x^1}{1!}-1}{x}= \lim_{x \to 0}\frac{\frac{x^1}{1!}}{x} = \lim_{x \to 0}{1!} \end{eqnarray*}$
Im Zähler wurden die ersten zwei Summanden der Taylorreihe gewählt, der Nenner enstpricht bereits einer Taylorreihe, Terme zusammenfassen und durch x dividieren, als Letztes den Grenzwert bilden.

07.01.2013, 15:47

mbbm

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RE: Taylor Entwicklung - GW
Ich verstehe das Beispiel noch nicht ganz.

Du sagst wir verwenden die ersten beiden Summanden der Taylorreihe. Diese ist doch so definiert:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{f^n(\xi)}{n!}(x-\xi)^n \end{eqnarray*}$

Dann brauchen wir für die ersten beiden Summanden zuerst die erste Ableitung:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{e^x-1}{x} f'(x)=\frac{e^x\cdot x - (e^x-1)*x}{x^2} \end{eqnarray*}$

Und das ergibt für die ersten beiden Summanden:

$\begin{eqnarray*} \frac{e^x-1}{x}\cdot(x-\xi)^0+\frac{e^x\cdot x - (e^x-1)\cdot x}{x^2}\cdot(x-\xi) \text{Da wir den Grenzwert im Nullpunkt suchen setzen wir $\xi=0$ und es bleibt:} \frac{e^x-1+x}{x} \end{eqnarray*}$

Und das kann doch nicht stimmen.

Dieses Beispiel kommt auch in meinem Skript vor, dort wird das allerdings so gemacht:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{1+x+O(x^2)-1}{x}=\lim_{x \to 0} (1+O(x))=1 \end{eqnarray*}$

mfg

07.01.2013, 17:53

zyko

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RE: Taylor Entwicklung - GW
Natürlich kannst du auch die Taylorentwicklung für den gesamten Ausdruck berechnen und damit den Grenzwert ablesen. Das war aber nicht gemeint. Sondern ich meinte die Taylorentwicklungen aller im Grenzwertausdruck vorkommenden Funktionen, das ist in meinem Beispiel nur die e-Funktion, da x selbst schon seine eigene Taylorentwicklung ist.
Bei deiner Aufgabe benötigst du die Taylorentwicklungen für folgende Funktionen:

$\begin{eqnarray*} y_{l2}=\log(1+x^2) \end{eqnarray*}$
Bilde dazu die Taylorentwicklung von
$\begin{eqnarray*} y_l=\log(1+x) \end{eqnarray*}$
und setze darin alle x durch $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ .
Ebenso bilde die Taylorentwicklung für
$\begin{eqnarray*} y_s=\sqrt{1-x^2} \end{eqnarray*}$
und dann noch die Taylorentwicklung für
$\begin{eqnarray*} y_c=\cos(2x) \end{eqnarray*}$ .
Es genügen jeweils die ersten paar Summanden. Der Rest kann abgeschätzt werden (Landau Symbol); den für x-->0 verschwindet dieser Rest.
Mit diesen ersten Summanden (Approximation der einzelnen Funktionen Nahe x=0) wird der Grenzwert berechnet.

07.01.2013, 19:36

mbbm

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RE: Taylor Entwicklung - GW
Ok also ich habe jetzt jedesmal die ersten drei Summanden bestimmt.

i)Logarithmus:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\log(1+x)\\ f'(x)=\frac{1}{1+x}\\ f''(x)=\frac{-1}{(1+x)^2} \end{eqnarray*}$

Das ergibt die folgende Summe:

$\begin{eqnarray*} f(x)=log(1+x)+\frac{x}{1+x}-\frac{x^2}{(1+x)^2} \end{eqnarray*}$

Nun alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ ersetzen:

$\begin{eqnarray*} log(1+x^2)=log(1+x^2)+\frac{x^2}{1+x^2}-\frac{x^4}{(1+x^2)^2} \end{eqnarray*}$

ii)Wurzelfunktion

$\begin{eqnarray*} g(x)=\sqrt{1-x}\\ g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{1-x}}\\ g''(x)=\frac{-1}{4\sqrt{(1-x)^3}} \end{eqnarray*}$

Taylorsumme:

$\begin{eqnarray*} g(x)=\sqrt{1-x}+\frac{x}{2\sqrt{1-x}}-\frac{x^2}{4\sqrt{(1-x)^3}} \end{eqnarray*}$

Wieder die x ersetzen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-x^2}+\frac{x^2}{2\sqrt{1-x^2}}-\frac{x^4}{4\sqrt{(1-x^2)^3}} \end{eqnarray*}$

iii)Cosinus

$\begin{eqnarray*} h(x)=cos(2x)\\ h'(x)=-2 sin(2x)\\ h''(x)=-4cos(2x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h(x)=cos(2x)-2x sin(2x)-4x^2 cos(x) \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit? Und warum kann ich einfach die Taylorreihe bezüglich x bestimmen und anschließend $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ einsetzen?

08.01.2013, 11:10

zyko

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RE: Taylor Entwicklung - GW
Schau dir bitte nochmals an, wie die Taylorentwicklung um den Punkt 0 aussieht:
$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n \end{eqnarray*}$ .
Deshalb musst du bei allen Ableitungen für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ setzen und von dieser unendlichen Summe die ersten Terme betrachten.
In dieser Taylorreihe tritt x nur bei $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ und bei $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ auf. Wenn wir also $\begin{eqnarray*} f(x^2) \end{eqnarray*}$ benötigen müssen wir auf der rechten Seite $\begin{eqnarray*} \left(x^2\right)^n=x^{2n} \end{eqnarray*}$ schreiben.
Z.B. Logaritmus:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\log(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+-... \end{eqnarray*}$

08.01.2013, 17:31

mbbmm

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RE: Taylor Entwicklung - GW
Achja, im Zähler steht f(0), ok das ergibt dann:

$\begin{eqnarray*} f(x)=log(1+x^2)=x^2-\frac{x^4}{2}+\frac{x^6}{3}-\cdots \\ g(x)=\sqrt{1-x^2}=1+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{8}+\cdots \\ h(x)=1+2x^2+16x^4+\cdots \end{eqnarray*}$

So, wenn ich das alles einsetze, dann erkennt man das einiges wegfällt, aber man kann das ganze ja nicht Unendlich mal machen, wie schätze ich nun den restlichen Teil des Taylor Polynoms ab?? (jetzt kommt wahrscheinlich das Landau Symbol oder?)

mfg

09.01.2013, 12:37

zyko

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RE: Taylor Entwicklung - GW
$\begin{eqnarray*} \begin{array}{ll}f(x)=log(1+x^2)=x^2-\frac{x^4}{2}+\frac{x^6}{3}-\cdots &\mbox{ richtig }\\ g(x)=\sqrt{1-x^2}=1-\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{8}-\cdots &\mbox{ Vorzeichen geändert } \\ h(x)=cos(2x)=1-\frac{(2x)^2}{2!}+\frac{(2x)^4}{4!}\mp \cdots &\mbox{ Potenzreihe des Cosinus verwendet } \end{array} \end{eqnarray*}$

Wenn du jetzt diese Anfänge der Potenzreihen in deine Formel einsetzt, die Terme, die sich aufheben, wegstreichst und dann noch soweit möglich x kürzt, dann gehen alle Restterme, die noch x enthalten beim Grenzwertbilden gegen 0.
Für eine saubere mathematische Schreibweise kannst du an Stelle $\begin{eqnarray*} \cdots \end{eqnarray*}$ auch das richtige Landausysmbol $\begin{eqnarray*} {o}(x) \end{eqnarray*}$ verwenden.

12.01.2013, 17:53

mbbmm

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RE: Taylor Entwicklung - GW
Hallo Zyko,

sry dass ich mich erst jetzt wieder melde. Wir haben die Aufgabe mittlerweile besprochen und nun ist alles klar. Vielen Dank für deine Hilfe

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