Konvergenz/Wurzelkriterium

06.01.2013, 19:56

Jamie07

Konvergenz/Wurzelkriterium

Hallo,

beim durchrechnen von Übungsaufgaben bin ich auf etwas gestoßen was ich nicht verstehe. Zu beiden Aufgaben war die Aufgabenstellung "Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf (absolute) Konvergenz". Prinzipiell ist mir klar wie man auf die Lösungen kommt. Ich verstehe jedoch nicht warum das Ergebnis 1/e trotz Anwendung des gleichen Kriteriums unterschiedlich interpretiert wird..

1. Reihe:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\right)^{n^2}\\\\ c_n = \left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\right)^{n^2}\\\\ Nach Wurzelkriterium:\\ \frac{1}\left({1+\frac{1}{n}\right )^n} \to_{n \to \infty} \frac{1}{e} < 1 \end{eqnarray*}$

2. Reihe:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\right)^{n}\\\\ d_n = \left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\right)^{n}\\\\ \frac{1}\left({1+\frac{1}{n}\right )^n} \to_{n \to \infty} \frac{1}{e} < 1 \end{eqnarray*}$

Bei der 2. Reihe wird nur gesagt, dass dies keine Nullfolge sei und deshalb Divergenz vorliegt. Aber wie kann das sein wenn nach Anwendung des Wurzelkriteriums 2x dasselbe Ergebnis herauskommt?

Vielen Dank schon Mal!

Edit: Was heißt "missing delimiter?"

06.01.2013, 20:19

Jello Biafra

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RE: Konvergenz/Wurzelkriterium

Zitat:

Original von Jamie07
1. Reihe:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\right)^{n^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_n = \left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\right)^{n^2} \end{eqnarray*}$

Nach Wurzelkriterium:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n} \to_{n \to \infty} \frac{1}{e} < 1 \end{eqnarray*}$

2. Reihe:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\right)^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d_n = \left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\right)^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right )^n} \to_{n \to \infty} \frac{1}{e} < 1 \end{eqnarray*}$

Die Reihen unterscheiden sich beim Exponenten der Summanden.
Dies führt eben dazu, dass bei der 2. Reihe mit dem Trivialkriterium gefolgert werden kann, da über eine Folge summiert wird, die keine Nullfolge ist.

06.01.2013, 20:26

Jamie07

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Danke. Leider haben wir das Trivialkriterium nicht behandelt. Außerdem verstehe ich nicht wie man wenn man nach den Umformungen des Wurzelkriteriums für den lim sup 1/e rausbekommt feststellen kann, ob die Reihe konvergiert oder divergiert. Eigentlich müsste sie ja immer konvergieren, da 1/e < 1 ist. Muss ich immer noch eine 2. Prüfung nach dem Wurzelkriterium vornehmen?

06.01.2013, 22:21

Jello Biafra

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Mit Sicherheit wurde das Trvialkriterium behandelt. Möglicherweise unter anderem Namen. Google, Wiki oder Boardsuche schaffen da Abhilfe. Außerdem solltest Du Dir die Konvergenzkriterien samt Beweisen mal genau angucken, denn offenbar gibt's da Verständnisdefizite.

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