Äquivalenz von Matrizen bestimmen?

06.01.2013, 20:02	Sunny1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenz von Matrizen bestimmen? Meine Frage: Hallo, ich würde gerne überprüfen, ob zwei Matrizen äquivalent sind. Leider weiß ich nicht ganz, wie ich es überprüfen kann. Könnte ihr vielleicht am Beispiel zeigen, wie man eine Matrix auf Äquivalenz überprüft? Meine Ansätze folgen weiter unten. Meine Ideen: Ich weiß, dass eine Matrix A äquivalent zur Matrix B ist, wenn man B durch elementare Zeilen und Spaltenumformungen erreicht. Nun habe ich gelesen, dass es reicht, den Rang zu überprüfen. Also wenn rgA = rgB gilt, sind die Matrizen dann schon äquivalent? Oder wie kommt man sonst drauf? In der Lehre hatten wir es so: Zwei Matrizen gleicher Form (mxn) sind äquivalent, wenn folgendes gilt: $\begin{eqnarray} S\in GL(n,K), T\in GL(m,K) ; B=TAS^{-1} \end{eqnarray}$ Wie kommt man auf das S bzw. das T? Könnt ihr es mir vielleicht an einem Beispiel näher zeigen?
06.01.2013, 23:05	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenz von Matrizen bestimmen? Du kannst eine Matrix A mit Rang r durch Spalten- und Zeilenumformungen in eine Matrix überführen, in der links oben eine rxr-Einheitsmatrix steht und sonst nur Nullen. Jetzt musst du dir nur noch klar machen, dass man jede zulässige Spalten- bzw. Zeilenumformung von A durch Multiplikation von A mit einer invertierbaren Matrix von rechts bzw links erreichen kann. Beispiel1: Spaltenvertauschung $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b&a\\d&c\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Beispiel2: Addiere das (-2)fache der ersten Zeile zur zweiten $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\-2a+c&-2b+d\end{pmatrix} \end{eqnarray}$

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