Homomorphiesatz - Seite 2

15.01.2013, 13:54	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Was passiert mit dem Kern, wenn nun echte Gleichheit gilt?
15.01.2013, 17:59	Monoid	Auf diesen Beitrag antworten »
Er ist dann gleich N.
16.01.2013, 23:17	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das habe ich doch selbst schon geschrieben... Worauf ich hinaus wollte ist, dass $\begin{eqnarray} \ker \overline{\varphi} \end{eqnarray}$ dann trivial ist, denn: $\begin{eqnarray} \overline{\varphi}(aN) = 1 = \varphi(a) \iff a \in \ker \varphi \iff aN = N \end{eqnarray}$ . Damit ist $\begin{eqnarray} \overline{\varphi} \end{eqnarray}$ injektiv im Falle von $\begin{eqnarray} N = \ker \varphi \end{eqnarray}$ . Das ist auch der Witz vom Homomorphiesatz. Jeder Homomorphismus $\begin{eqnarray} \varphi \colon G \to G' \end{eqnarray}$ induziert einen eindeutigen Isomorphismus $\begin{eqnarray} \overline{\varphi} \colon G / \ker \varphi \to \mathrm{im} \varphi \subset G' \end{eqnarray}$ .

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