Homomorphiesatz |
06.01.2013, 20:06 | Monoid | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Homomorphiesatz Ich möchte den Homomorphiesatz beweisen. Die Existenz von ist klar, denn . Aber bei der Existenz komme ich nicht weiter. Offensichtlich ist G/N eine Gruppe und G' ist ja als Gruppe definiert... Aber warum ist, weiß ich nicht, also warum einer Exitiert, der die Bedungungen mit der Konposition etc. erfüllt, weiß ich nicht. Könntet ihr mir helfen? |
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06.01.2013, 21:25 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Homomorphiesatz
Meinst Du hier eher Eindeutigkeit? Es geht darum, einen Homomorphismus zu finden, sodass ist. Das naheliegende ist, einfach zu definieren. Damit sieht man schon direkt, dass die Kommutativitätsbedingung erfüllt ist, wenn es sich hierbei um einen Gruppenhomomorphismus handelt. Es ist also zu prüfen, dass das so definierte tatsächlich eine Abbildung, d.h. wohldefiniert ist, und zudem ein Gruppenhomomorphismus. |
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07.01.2013, 05:55 | Monoid | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Homomorphiesatz Ja, es soll Eindeutigkeit heißen. Ich war in Eile. Was heißt eigentlich wohldefiniert? Das jedes Element des Wertebeireches auf eines im Zielbereich abbgebildet wird? Das haben wir ja schon gezeigt. Und das die Abbildung ein Gruppenhom. ist, auch. Also folgt eigentlich aus die Aussage? |
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07.01.2013, 09:59 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Homomorphiesatz
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07.01.2013, 17:03 | Monoid | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Homomorphiesatz Das ist doch klar. Denn . Und weil ein Epimorphismus ist, also injektiv, folgt a=a' woraus die Aussage folgt. |
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07.01.2013, 17:16 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Homomorphiesatz
Das ist nur eine Umformulierung der Annahme. Dass wohldefiniert ist, benutzt ganz entscheidend die Definition .
Epimorphismus bedeutet Surjektivität, nicht Injektivität! Die kanonische Projektion auf den Quotienten ist auch nie injektiv (außer, man faktorisiert die triviale Gruppe heraus). |
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07.01.2013, 20:03 | Monoid | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Homomorphiesatz Ich verstehe das nicht. Es existiert eine Funktion also . Das es sich um einen Gruppenhom. handelt, folgt doch daraus. |
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07.01.2013, 20:05 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Aber erstmal muss gezeigt werden, dass das so definierte überhaupt eine wohldefinierte Abbildung ist. |
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08.01.2013, 17:01 | Monoid | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also injektiv? |
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08.01.2013, 17:11 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Am Ende ist ein Isomorphismus, also insbesondere injektiv. Aber dazu muss zunächst gezeigt werden, dass es sich hier um eine richtig definierte Abbildung handelt. Sei also , d.h. . Was ist dann ? |
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10.01.2013, 15:31 | Monoid | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich verstehe nicht worauf du hinaus willst..... Die Wohldefiniertheit von zu zeigen, geht doch viel leichter: Seien |
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10.01.2013, 16:42 | Monoid | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wäre der Satz damit und dem Rest gezeigt? |
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11.01.2013, 02:28 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hier sollte es heißen, aber ja, darauf wollte ich hinaus. Dadurch ist mitnichten der Satz gezeigt. Es ist gezeigt, dass eine Abbildung mit existiert. Zu zeigen verbleiben noch:
Edit: ergibt keinen Sinn, Du meinst . |
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11.01.2013, 05:51 | Monoid | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, hast natürlich Recht, es soll ker(phi) sein. Die Eindeutigkeit habe ich doch schon Beiterag Nr. 1 gezeigt. Das ein Gruppenhom. ist, folgt auch aus der Existenz und dem Eindeutigkeitsbeweis. |
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11.01.2013, 11:32 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Rechne beides doch mal konkret nach. |
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11.01.2013, 17:01 | Monoid | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Beweis Die Eideutigkeit von folgt aus . Ebenso die Homomorphie, denn ist definiert, als Gruppenhom.. Also bleibt noch zu zeigen, dass wohldefiniert ist: Seien . Die Aussage ist offensichtlich ( Kompositionsdefinition von und ). Der selbe Grund auch bei . |
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12.01.2013, 02:06 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Du behauptest immer nur, dass aus einer Aussage eine andere folgt, aber ich glaube Dir das erst, wenn ich es mal gesehen habe. Also zum Ansatz der Eindeutigkeit betrachte einen weiteren Homomorphismus mit . Dann...? Ebenso weißt Du doch, was Du zur Homomorphismuseigenschaft nachweisen musst: Seien . Dann gilt:
Der Beweis bleibt richtig, Du musst den Beweis nicht nochmal wiederholen.
Das Multiplikationszeichen ergibt an dieser Stelle keinen Sinn. Du meinst und . Warum gilt denn ? |
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12.01.2013, 07:05 | Monoid | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Eindeutigkeit folgt doch aus . Denn ist ja eindeutig. Und die Aussage A besagt ja, dass der Funktionswert von der selbe ist wie der von . |
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12.01.2013, 20:41 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das müsste heißen... Um es mal allgemein zu sagen: die Gleichheit bedeutet noch nicht, dass gilt. Betrachte z.B. die Abbildung und dann sowie . Hier gilt , aber dennoch , Zum Beweis in unserer Situation sei also gegeben. Für alle wollen wir zeigen, dass . Wie können wir unser Element nun schreiben? |
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13.01.2013, 06:28 | Monoid | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Als . |
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13.01.2013, 13:53 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Genau. Das heißt: |
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13.01.2013, 15:33 | Monoid | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Tja, jetzt hast du einen Schreibfehler gemacht! Nein, war nur ein Scherz Du meinst wohl . |
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13.01.2013, 15:34 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Gut erkannt. Und weiter? |
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13.01.2013, 15:37 | Monoid | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
13.01.2013, 15:53 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich hab die Abbildung notiert, aber ja, das stimmt. Wenn Du Dir nun unseren Fall und mein früheres Gegenbeispiel anguckst, woraus folgt die Eindeutigkeit? |
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13.01.2013, 15:55 | Monoid | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Aus . |
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13.01.2013, 16:05 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das ist die Aussage der Eindeutigkeit. Ich meinte aber, was ist das entscheidende Argument? |
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13.01.2013, 16:36 | Monoid | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ist das nicht entscheidende Argument? Meinst du mit Argument eigentlich das mathematische oder nicht? |
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13.01.2013, 16:40 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also, worauf ich hinauswollte ist, dass unser Homomorphismus surjektiv ist. Deswegen haben wir einen Homomorphismus auch bereits eindeutig definiert, wenn wir ihn auf dem Bild von definiert haben. Das geht im angegebenen Gegenbeispiel schief, da die Inklusion nicht surjektiv ist. |
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13.01.2013, 17:38 | Monoid | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also haben wir den Satz gezeigt? Was fehlt denn noch? |
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13.01.2013, 18:13 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
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13.01.2013, 19:26 | Monoid | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Weil |
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13.01.2013, 20:24 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Dann führe mal genauer aus, wie man die noch ausstehenden Aussagen beweist. Es reicht nicht, nur grob anzuzeigen, was bei einem Beweis eingeht, den Beweis selbst dann aber wegzulassen -- zumindest, wenn man zum ersten Mail eine Aufgabe dieses Typs bearbeitet. |
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14.01.2013, 05:14 | Monoid | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Meinst du ? Weil der Kern eines Gruppenhom. niemals leer ist ( das neutrale Elementbwird auf das neutrale abgebildet ), können wir annehmen, dass Also |
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14.01.2013, 05:39 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das ist etwas wirr aufgeschrieben. Du hast das Element ziemlich vom Himmel fallen lassen. Besser wäre eine Formulierung wie folgt: Wie sieht damit der Kern von ganz konkret aus? |
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14.01.2013, 06:01 | Monoid | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also ist . |
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14.01.2013, 06:34 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, das auch, schließlich wollten wir das ja zeigen. Aber Du kannst den Kern konkret in der Form angeben. |
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14.01.2013, 16:56 | Monoid | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
14.01.2013, 18:06 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Und welche Beziehung besteht zwischen und ? |
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14.01.2013, 18:20 | Monoid | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
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